利用點(diǎn)子圖促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

劉偉光

有老師問我：“點(diǎn)子圖要教嗎？”其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，點(diǎn)子圖可以化抽象為“具體”，利用點(diǎn)子圖，不但可以幫助學(xué)生易于理解數(shù)學(xué)知識，還可以增進(jìn)數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。下面以《筆算乘法》（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊P46）教學(xué)為例，談?wù)匋c(diǎn)子圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

一、利用點(diǎn)子圖助力學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心

點(diǎn)子圖是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手。利用點(diǎn)子圖，可以將一些在課堂上無法如實(shí)展示的教學(xué)內(nèi)容“還原”，化抽象為具體，幫助小學(xué)生消除學(xué)習(xí)障礙，解決遇到的問題。如教學(xué)《筆算乘法》例題1的“每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？”時，因為本例題教學(xué)的重點(diǎn)在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算上，因此在學(xué)生列出算式14×12后，教師直接讓學(xué)生自主探究計算，那么學(xué)生計算的結(jié)果（168或其他）正確嗎？這就需要驗證。學(xué)生在教師引導(dǎo)下，畫出點(diǎn)子圖（P46點(diǎn)子圖），把王老師所買的書（點(diǎn)子）搬（畫）到教室來了。因為一個點(diǎn)子表示一本書，所以點(diǎn)子圖的點(diǎn)子數(shù)就是王老師買書的本數(shù)，學(xué)生只要數(shù)數(shù)點(diǎn)子圖的點(diǎn)子，就知道自己計算結(jié)果是否正確了。這個教學(xué)環(huán)節(jié)，利用點(diǎn)子圖，實(shí)現(xiàn)了把王老師所買的書“搬”到課堂上的想法，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容變得直觀，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的自信心。

二、利用點(diǎn)子圖增進(jìn)數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，挖掘與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的思考元素，增進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生思維，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主旋律。

1.轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)的形式，用連乘或乘加的方法計算

第一，轉(zhuǎn)化成連乘的形式進(jìn)行計算，即先把點(diǎn)子圖平均分成若干部分，再列成連乘的算式計算。例如：有的學(xué)生把點(diǎn)子圖平均分成三部分（如P46點(diǎn)子圖左），先計算出每部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出三部分（整個點(diǎn)子圖，下同）一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式為：14×4=56，56×3=168，計算結(jié)果是168，寫成綜合算式記為14×4×3;有的學(xué)生把點(diǎn)子圖平均分成四部分，先計算出每部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出四部分一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式為：14×3=42，42×4=168，計算結(jié)果也是168，寫成綜合算式記為14×3×4;有的學(xué)生把點(diǎn)子圖平均分成六部分，先計算出每部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出六部分一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式為：14×2=28，28×6=168，計算結(jié)果也是168，寫成綜合算式記為14×2×6;有的學(xué)生把點(diǎn)子圖平均分成兩部分，先計算出每部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出兩部分一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式為：14×6=84，84×2=168，計算結(jié)果是168，寫成綜合算式記為14×6×2等。

第二，轉(zhuǎn)化成乘加的形式進(jìn)行計算，即先把點(diǎn)子圖分成不相等的兩部分（每部分小于10行，即每部分行數(shù)為一位數(shù)），再列成乘加的算式計算。例如：有的學(xué)生把點(diǎn)子圖分成“9行”和“3行”兩部分，分別計算出各部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出兩部分（整個點(diǎn)子圖，下同）一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式分別為：14×9=126，14×3=42，126+42=168，計算結(jié)果是168，寫成綜合算式記為14×9+14×3;有的學(xué)生把點(diǎn)子圖分成“8行”和“4行”兩部分，分別計算出各部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出兩部分一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式分別為：14×8=112，14×4=56，112+56=168，計算結(jié)果也是168，寫成綜合算式記為14×8+14×4;有的學(xué)生把點(diǎn)子圖分成“7行”和“5行”兩部分，分別計算出各部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出兩部分一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式分別為：14×7=98，14×5=70，98+70=168，計算結(jié)果也是168，寫成綜合算式記為14×7+14×5等。

把上面這些綜合算式與原列式（14×12）聯(lián)系對比，可得出：14×12=14×4×3=14×3×4=14×6×2=14×2×6或14×12=14×9+14×3=14×8+14×4=14×7+14×5。即把14×12中的一個乘數(shù)轉(zhuǎn)化成兩個一位數(shù)的積（如12=4×3=3×4=6×2=2×6）或和（如12=9+3=8+4=7+5），把14×12轉(zhuǎn)化成連乘或乘加算式來計算，就是將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)的方法進(jìn)行計算。

2.轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)與兩位數(shù)乘一位數(shù)的和形式，用乘加的方法口算

先把點(diǎn)子圖分成整十行和不足十行（一位數(shù)）兩部分，再用乘加的方法口算。例如：有的學(xué)生把點(diǎn)子圖分成“10行”和“2行”兩部分，分別算出各部分的點(diǎn)子數(shù)，再求出兩部分（整個點(diǎn)子圖）一共的點(diǎn)子數(shù)，列出的算式（口算）分別為：14×10=140、14×2=28、140+28=168（如P46點(diǎn)子圖右），計算結(jié)果是168，寫成綜合算式記為14×10+14×2。聯(lián)系比較原列式得出14×12=14×10+14×2。即把14×12中的一個乘數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)與一位數(shù)的和（12=10+2），變成前面一節(jié)課剛學(xué)過的口算形式（這種方法是上一節(jié)課口算方法的應(yīng)用，是理解豎式計算算法算理的基礎(chǔ)，解決本課重難點(diǎn)的關(guān)鍵）。

點(diǎn)子圖點(diǎn)子求得方法的優(yōu)化探究，挖掘了點(diǎn)子圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思考元素，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，學(xué)生思維活躍又個性十足，促進(jìn)了知識的遷移，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識。

三、利用點(diǎn)子圖理解算法算理，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法算理是本課教學(xué)的重難點(diǎn)。前面教學(xué)中利用點(diǎn)子圖，解決了驗證問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，還生成了新的教學(xué)資源，它可以幫助學(xué)生突破本課教學(xué)難點(diǎn)，理解好筆算（豎式）算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。如在“探究計算14×12”時，有學(xué)生用豎式計算得到168的，但教師通過提問了解到還存在兩個問題：一是學(xué)生還無法確認(rèn)自己計算結(jié)果是否正確，需要加以驗證;二是學(xué)生雖然用豎式計算出來了，但不知其所以然，還沒有弄清算理。在“用已學(xué)過的計算方法求出點(diǎn)子數(shù)”的探究活動中，收獲了14×10=140、14×2=28、140+28=168的口算方法（稱為橫式）。因此，教師用課中生成的豎式和橫式，以小組為單位，讓學(xué)生對照點(diǎn)子圖（P46中右），說說橫式和豎式的關(guān)系，并作出關(guān)聯(lián)圖，幫助學(xué)生理解豎式計算的算理算法。學(xué)生匯報交流的關(guān)聯(lián)圖整理如下圖。

板書：

第一，弄清算理。引導(dǎo)學(xué)生觀察比較上圖左右兩部分：一是結(jié)果一致，說明豎式算法正確可行（橫式的已由點(diǎn)子圖驗證過）。二是豎式中每一步算法的選擇及其意義，可利用點(diǎn)子圖（P46中右）、橫式和豎式的對照比較講清楚，讓學(xué)生能夠理解算理，最后把點(diǎn)子“還原”為書，學(xué)生可以順利完成課本的豎式圖填空（P46下）。

第二，弄清算法。引導(dǎo)學(xué)生觀察整個豎式結(jié)構(gòu)模型：第一步計算（14×2）和以前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式計算方法相同。第二步計算（14×10），觀察“1”（10）×4=“4”（40）的對位，理解用“用哪一位上的數(shù)去乘，得到的積就跟那一位對齊”;再根據(jù)“0加任何數(shù)得任何數(shù)”，理解豎式中的0可以不寫……從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)豎式模型，歸納計算法則。

綜上可知，利用點(diǎn)子圖教學(xué)，數(shù)形結(jié)合，化抽象為具體，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，同時豐富了教學(xué)思考的元素，增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，同時培養(yǎng)了學(xué)生思維能力和應(yīng)用意識，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究中智慧生長。

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