樹立單元整體意識 緊扣教學內容核心

農學寧

【摘要】本文以滬科版《二元一次方程組的應用》為例，分析單元整體教學的原因及課時內容，闡述教學過程，詮釋基于單元整體的教學思想，為教學提供參考。

【關鍵詞】二元一次方程組 單元整體思想 教學實踐

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）17-0146-03

《義務教育數學課程標準（2011年修訂版）》指出：“教材內容的呈現要體現數學知識的整體性，體現重要的數學知識和方法的產生、發展和應用過程。”教師在課堂教學中需充分考慮數學知識的整體性，使學生在學習的過程中形成系統性思維，充分理解數學知識的本質內涵。從數學知識的整體性出發，一方面可以指引導學生從數學內部發展的需求或生產、生活的需求出發，自己根據所教知識，提出教學中的研究對象與研究問題;另一方面，可以嘗試將研究框架一致（包括起源一致、研究內容一致、研究方法一致、研究用途一致）的相近概念整合在一起進行學習，這樣的學習方式有利于學生從本質上把握一類數學概念的共同屬性。在課堂教學中，每一個課時內容均不可能脫離于教材的整體而獨立存在。因此教師要把握好單元整體的教學思想，提升課堂教學設計的立意，以更好地完成教學任務。本文從單元整體立意入手，以滬科版《二元一次方程組的應用》的教學實踐為例，探討單元整體思想在課堂教學中的應用。

一、單元整體立意分析

《二元一次方程組的應用》是滬科版教材七年級上冊《一次方程與方程組》一章中的一個內容，這一章的主要知識點是一次方程（組）及其應用，主要傳授模型思想、方程思想、類比思想、轉化思想等數學思想方法。通過分析問題中的數量關系→發現等量關系→列出方程（組）→解方程（組）→得到實際問題的答案。這一典型的數學建模過程，是數學應用的主要方法之一。

本節課之前的內容是一元一次方程的解法和實際應用，及二元一次方程組的解法;本節內容之后，是三元一次方程組的解法和應用。由此可知，本節課的內容是對前面列方程解決實際問題的思想方法的鞏固，為列多元方程組解決實際問題做好鋪墊，是承上啟下的重要一節課。

二、課時內容分析

本節課從實際生活中提煉出解決兩個未知量的典型模型，運用二元一次方程組可以解決這類問題。在課時安排上要研究兩個例題。其中例1中的數量關系雖然所呈現的條件是兩個相等關系，但這兩個相等關系建立的意義不同，用一元一次方程或二元一次方程組均可以方便解決。一方面，在方程的解法上對應解二元一次方程組的典型方法——代入消元法;另一方面，在解題思想上主要體現了由二元轉化為一元的基本思想。因此，在教材中特意分別給出列一元一次方程的方法和列二元一次方程組的方法進行比較。例2中所呈現的模型是兩個相互并列的數量關系，通過本例讓學生進一步理解和掌握列二元一次方程組解決問題的典型模型，并懂得這種模型的特點和意義。

因此，本節課的教學重點是，探究用二元一次方程組解決實際問題，并體驗二元一次方程組的應用模型。教學目標是，（1）能用二元一次方程組解決某些實際問題，體驗二元一次方程組的應用模型;（2）通過列方程組解決實際問題，進一步體會方程思想和模型思想，培養學生運用數學的能力，體會數學與實際生活的聯系。

三、教學過程

（一）情景引入

足球是當今世界上深受歡迎的一項體育運動，它牽動著億萬球迷的心，令無數球迷為之瘋狂。下面請大家欣賞一段精彩的進球集錦。

〖師生活動〗觀看視頻。

【設計意圖】通過觀看進球集錦，吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣。

（二）探究新知

【例1】某市舉辦中學生足球賽，規定勝一場得3分，平一場得1分。市第二中學足球隊比賽11場，沒輸過一場，一共得27分。問該隊勝幾場，平幾場？

〖問題1〗利用之前所學的知識你能解決這個問題嗎？

[生]利用表格梳理信息，找到本題的基本數量關系：

[解]（方法1）設該隊勝x場，則平（11-x）場。根據題意

得 ?3x+（11-x）=27

解得 x=8（場）

11-x=11-8=3（場）

[答]該隊勝8場，平3場。

【設計意圖】表格分析法已經在之前的學習中運用，學生對這個方法比較熟悉。這樣做，一則復習舊知，二則為學生搭建新知探索的平臺。顯然，這個問題可以運用一元一次方程解決，但也為與后續方法2的對比作好鋪墊。

〖問題2〗如果把平場數設為y，那么同學們是否可以以此解決這個問題？如何解決？

[解]（方法2）設該隊勝x場，平y場。根據題意

得 ?[x+y=113x+y=27]

解得 [x=8y=3]

[答]該隊勝8場，平3場。

【設計意圖】通過對例1的審題分析，讓學生體會可以利用表格梳理信息整理數據，明確未知量，找尋等量關系式。通過巧妙設問，鼓勵學生思考、探究不同的方法。

〖問題3〗請同學們對比這兩種方法，說說它們的不同點及各自優點是什么？

[生1]方法1只設一個未知數，列一個方程;方法2則設了兩個未知數，列兩個方程。方法1解方程時比較簡單，方法2是設元時思路比較清晰。

〖追問1〗這兩種方法有什么聯系呢？

[生2]實際上方法1中的平場數用（11-x）表示，方法2中平場數用y表示，兩者的實際意義相同。

〖追問2〗能否聯系之前解二元一次方程組的解法，談談你的感想？

[生3]可以聯想到用代入消元法解二元一次方程組。

[師]說得很好，正是因為y與11-x的實際意義相同，所以我們才可以用代入消元法把二元的問題轉化為一元問題解決。

【設計意圖】通過兩種解法的深入比較、探究，讓學生懂得二元一次方程組是解決應用題的好方法。通過方法對比，讓學生懂得兩種方法之間的區別與聯系，進一步理解之前代入消元法的本質意義。

（三）合作探究

【例2】甲、乙兩人相距4 km，以各自的速度同時出發。如果同向而行，那么甲2 h追上乙;如果相向而行，那么兩人0.5 h后相遇。試問兩人的速度各是多少？

〖師生活動〗教師提出問題后，組織學生分小組討論、交流。小組展示自己的解題過程，歸納解題步驟。教師注意跟蹤，當學生出現不規范或錯誤的時候，要及時給予指導。

[解]設甲、乙的速度分別為x km/h，y km/h。根據題意

得 ?[2x-2y=40.5x+0.5y=4]

解得 [x=5y=3]

[答]甲的速度為5 km/h，乙的速度為3 km/h。

〖問題4〗請同學們嘗試解決這個問題，并思考例2與例1有什么相同之處？

[生1]兩個例子的問題均可用二元一次方程組解決。

〖追問1〗不同點？

[生]？

[師]我們不妨對比一下兩個例子中的相等關系。

1.列表對比如下：

[方向 人 時間 速度 路程 同向而行 甲 2 x 2x 乙 2 y 2y 相向而行 甲 0.5 x 0.5x 乙 0.5 y 0.5y ]

2.列方程組對比如下：

例1 [勝場數+平場數=總場數勝場得分+平場得分=總分]

例2 [甲的行程-乙的行程=4甲的行程+乙的行程=4]

[生]例1中的兩個相等關系意義不同，而例2中的兩個相等關系意義相同。

[師]不錯，例1的兩個相等關系中，第一個是比賽場數，而第二個是比賽積分;例2中的兩個相等關系均為行程。其中例2的問題也是二元一次方程組的一種十分典型的模型。顯然這時用列二元方程比列一元方程更能方便解決問題。

【設計意圖】在解決問題的過程中，讓學生懂得利用示意圖直觀地找到等量關系是解決行程問題的常用工具，并進一步體會利用二元一次方程組求解具有兩個等量關系的兩個未知數的優勢，使學生懂得求解含有兩個未知數的實際問題。通過學習小組合作探究，讓學生參與討論，給予學生更多的思考空間，使學生的解題思路更多。然而最主要的是，讓學生了解兩種不同的二元一次方程組模型的差異性。

（四）嘗試練習

〖練習1〗某班同學在植樹節植樟樹和白楊樹共45棵。已知樟樹苗每棵2元，白楊樹苗每棵1元，購買這些樹苗用了60 元。問樟樹苗、白楊樹苗各買了多少棵？

〖練習2〗已知5輛馬車和4輛卡車一次能運貨24噸，10輛馬車和2輛卡車一次能運貨21噸。試求每輛馬車和卡車平均各裝貨多少噸？

【設計意圖】從應用的模型上看，這兩道練習題明顯對應上面講到的兩道例題。一方面，突出二元一次方程組這種數學模型的廣泛性和有效性;另一方面，使學生能在更加貼近實際的問題情境中運用所學數學知識分析問題和解決問題，提升應用意識和能力。

（五）思考辨析

〖問題5〗有人說：“凡可用二元一次方程組解決的問題，都可用一元一次方程來解決。因此，在學過一元一次方程后沒有必要再學二元一次方程組。”對此，談談你的看法。

【設計意圖】通過這個問題讓學生分析二元一次方程組與一元一次方程在問題解決中的聯系和區別。以便使學生更充分地理解二元一次方程組的應用模型，加深對一元一次方程與二元一次方程組之間關系的認識，懂得二元一次方程組應用模型的特點和必要性。

（六）興趣延伸

〖練習3〗下表為某次足球比賽積分榜的部分內容。你能求出勝一場、平一場以及負一場分別積幾分嗎？

〖審題分析〗本題要求幾個未知量，要找幾個等量關系式？

〖師生活動〗教師提出問題，學生進行審題分析，不需要解答。

【設計意圖】本題為學習三元一次方程組做鋪墊，讓學生體會運用二元一次方程組解決實際問題的這一典型的數學建模過程，逐步領略高元方程在解決問題中的模型和轉化思想。

（七）小結歸納

1.本節課我們主要學習了哪些知識與方法？

2.試從本章的學習角度思考，你在本節課中還有什么收獲？

【設計意圖】及時歸納和提升，以達成本節課的教學目標。

（八）作業布置

1.課本第109頁練習題共3題;

2.課本習題3.4第2題和第7題。

【設計意圖】以分層作業的方式了解學生的學習效果，以便調整教學安排。使學生通過課后練習獨立思考、自我反思、發現問題。設置不同層次的作業，使不同的學生得到不同的發展。

四、導向與反思

（一）單元整體思想的意義

從單元整體入手可以更好地理解章節課時的知識點和思想方法。教材中單元知識的設置，蘊含著學科的內在規律。通過單元整體的眼光去理解教材，可以找到前后知識點之間的關聯作用、遷移和轉化規律，見木成林，以取得良好的教學效果。通過這種方式開展數學教學，能讓學生厘清單元目標和課時目標之間的關系，能夠有計劃地從單元整體上組織好教學規劃，更好地做到因材施教，強化單元內知識點之間的關聯，把握好整個單元的知識點。

（二）以單元整體思想進行教學設計的目標

一是整體感悟數學知識。在數學課中，整體結構化的思維能使教學效果更好。在這種思想指導下，不僅要對單元知識進行回憶，而且要在新舊知識的融合過程中激發學生學習興趣，從而使學生主動進行學習，建構數學知識網絡。學生掌握單元整體知識和課時知識之間的關系，可以使自己更有興趣地深入探究，并在單元整體感悟的基礎上完善知識結構。二是學會遷移。教師在教學中要幫助學生更好地理解和掌握數學內容，對數學知識進行自覺性遷移，從而使學生提高將數學知識進行遷移的能力，激發學生的學習熱情。

（責編 盧建龍）