數學抽象素養的內涵與培養策略

馬探軍 野德勝

摘要：隨著高考的不斷改革，高中數學的授課漸漸轉變為以培養學生的數學核心素養為目標，同時重視學生的成績的提升。作為高中數學教師，應當不斷加強自身能力的修養，改變傳統的教學方法，將授課與培養學生的核心素養結合起來，促進學生發展核心素養并逐步形成適應未來發展的必備品格、關鍵能力和正確的價值觀念。采取何種有效策略落實核心素養的培養，能否有效整合課內外數學活動，全方位落實核心素養是一線教師正在深入研究的方向。高中數學學科六大核心素養之首是數學抽象素養，其具有極大的價值意義，也是提升學生數學綜合素養的關鍵。故而，本文將對數學抽象的內涵、水平劃分和培養策略展開進一步的研究。

關鍵詞：數學;核心素養;發展水平

中圖分類號：G633.6 ?文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）08-007

一、數學抽象素養的內涵

抽象是不能脫離具體而獨立存在的行動或過程，其主要目的是為降低事物的復雜度。具體來說，抽象是指將復雜事物的某幾個特性抽出，只關注其某些特征的行動或過程;或指將不同事物的共同特征形象地抽取出來獨立進行考慮的行動或過程;或指從具體被研究對象中抽出與研究相關的內容，拋棄非相關內容，從而形成基于研究問題的正確認識，抽象是研究員從事科研的常用思維，所謂的數學抽象是指某一事物在無法計量時，通過空間和數量將其用抽象的形式表象出來的一種方，與此同時，這也是高中數學的核心素養之一。[1]它主要有以下兩部分構成：第一部分是數量與數量關系、圖形與圖像關系中，通過合理的科學論證所抽象出來的數學概念及概念之間的關系;第二部分從某一事物出發，從它的具體背景的諸因素中抽象出的規律和事物所具有的本質結構特征，通過運用數學的思維方式將其表現出來。

二、數學抽象素養的水平劃分

數學抽象素養培養過程是階梯式的，能力要求也是逐步提升的，不同階梯的培養過程對能力培養要求也不同。高中數學課程標準將高中數學學科數學抽象素養水平大致分為三層，主要在不同情景、數學命題、解決問題、數學概念、數學語言、數學思想和應用能力等方面提出了具體要求，筆者細化整理如下：

三、數學抽象素養的培養策略

1.在實際情景中數學抽象的培養

情境是培養學生數學抽象素養的關鍵素材之一，通過引導學生對不同實際情境問題進行多維度分析，能夠較好培養學生從實際情景中抽象出數學問題、數學概念和數學規則的能力。在情景內容方面，課堂教學上基于學生情況可先從簡單情景入手，逐步過渡到綜合復雜情景。在教學方法方面，起初可強化教師引導作用，幫助學生從熟悉情景中抽象出數學問題、概念和規則的一般方法，逐步過渡到學生獨立自主分析實際情景問題。在作業布置方面，滲透數學抽象素養，問題內容重視以生活實際情景為背景，幫助學生提升從實際情景中抽象數學問題的能力，同時使得學生能夠應用數學知識解決生活實際問題。

例如：小明同學想讓父母可以隨時在家查閱各種網絡資源，準備將自己家中的計算機接入因特網。現有兩家因特網服務提供商可供選擇，公司A是連續上網小時共收費1.5x元，公司B是連續上網小時共收費x（35-x）20元。

（1）A公司上網費用和上網時間之間存在什么關系？B公司上網費用和上網時間之間存在什么關系？

（2）那么在保證A公司的上網費用小于B公司的費用下，需要上網多長時間？

通過實際情景分析，學生能夠逐步將實際問題抽象成數學問題，通過求解數學問題從而解決此實際情境問題，在解題過程中學生還可體會函數與不等式的關系。

2.在數學概念中數學抽象的培養

在高中數學中，一般思維形式的判斷與推理，都需要我們用以定理、定義、公式的方式表現出來，這其中數學的思維方式和相關的數學概念則是必不可少的內容，數學概念則是構成它們的基礎。掌握數學知識的前提是能夠理解運用數學知識。高中數學的概念都是比較抽象的，并且具有高度的概括性，在教學過程中結合數學概念，有利于培養學生的抽象思維能力。例如：在立體幾何中講解“三類角”（異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角）和“距離”（重點距離是：異面直線間距離、點到平面的距離、直線與平面間的距離、平面與平面間的距離）的概念時，應該從基礎的高中幾何知識開始學起來，逐漸從初中的平面學習向高中的空間幾何過渡，距離是借助平面幾何三角形中的高（即點到直線的距離）以及平行直線的公垂線段長明確了立體幾何中關于對應的角或距離的嚴格定義，同時通過具體的模型演示幫助學生直觀形象的認識形成角度和距離的大小。

在教學實踐中，教師要善于引導學生對概念、規則進行抽象，讓學生經歷完整的數學結論獲得過程，而不是只注重數學活動的結果。教師要引導學生追溯數學概念的原型、抽象的過程以及運用的過程，幫助學生深入了解數學概念的原理。

3.培養數學抽象思維能力應當從具體的問題入手

解決問題的初步是分析與抽象，嚴謹的分析、合理的抽象往往能夠化繁為簡，將復雜問題變得更加簡明具體，其過程是培養學生數學抽象素養的重要途徑。問題往往存在于實際情景或者數學情景中，內容涉及多種數量關系、圖形關系或空間形式，暗含著某種規律和結構，而探究發現、總結歸納規律和結構的過程就是一種抽象。在抽象過程中先要拋棄無關量，注重挖掘核心問題、關鍵因素，將抽象結果與數學知識建立相互聯系，逐步用數學知識與概念解決抽象后具體、單一的問題。在過程中，教師要注重提升學生的專注力和參與度，學生高頻率的深度參與，才能深刻體驗抽象過程，提升抽象能力。例如：小李家里有個長60m寬40m的矩形羊圈，假期小李在家幫助父親放羊，羊越來越大，越來越多，羊圈裝不下羊了。小李建議父親擴大羊圈，可小李父親覺得多加柵欄又需要花銷一筆費用，因此父親希望小李自己想辦法。（1）正處于高中年級的小李聰明地把羊圈改成了正方形，問題得到了暫時解決，嘗試從數學的角度做出相應的解釋？故事中所蘊含了哪些相等關系和不等關系？（2）若過了一段時間，小李修改的正方形羊圈依舊不夠用了，在不增加柵欄情況下，你能給小李出出主意，并從數學角度分析你的理由嗎？（羊圈柵欄周長為200m）。（3）由長方形圍欄改裝成正方形，再對正方形圍欄進行改裝，如何從數學角度闡述這一過程性原理呢？由此類比分析，你能解釋為什么多數水果都是球形而非正方體、長方體或者其他多面體？

通過上述問題的解決，學生在解決數學問題的方法上從模仿、選擇逐步過渡到創造，這是一種能力的提升。學生能夠感悟解決相似問題中的通性通法，在已得結論的基礎上通過類比分析形成新命題，并用新命題解釋自然現象。

4.在交流過程中數學抽象的培養

在交流過程中，將實際情景和數學概念相結合解釋具體現象、自然現象和社會現象是能力的重要體現。在解釋過程中，自然語言過渡到數學符號語言本身就是抽象的，數學語言的理解和精準表達是關鍵環節。教師在日常教學過程中依據學生情況注重引導學生應用數學語言闡述數學問題、表達數學概念和規則。立體幾何知識模塊中，平行關系、垂直關系、空間形式都需要數學語言精準刻畫，涉及自然語言、圖形語言、數學語言之間頻繁互相轉化。

在課堂教學中，教師注重從類比和聯想的角度去引導學生在已得數學結論的基礎上進一步探究，有助于學生不斷積累抽象經驗，形成高度概括的能力，有助于提升學生分析綜合復雜問題的能力。

綜上所述，在數學教學過程中，在培養數學抽象思維方式的同時，也培養了學生對于數學問題解題的能力，同時也為學生更好地積累了學習方法和學習經驗，通過這些學習方法和經驗的積累，能使學生養成獨立自主探究探索問題的習慣，從而抓住事物的本質，以便在以后能夠得到更好的發展。

參考文獻：

[1]常磊，鮑建生.情境視角下的數學核心素養[J].數學教育學報，2017（2）.

[2]喻平.數學核心素養評價的一個框架[J].數學教育學報，2017（2）.

[3]桂德懷.中學生代數素養內涵與評價研究[D].上海：華東師范大學，2011.

（作者單位：西安市第六十六中學，陜西 西安 710016）