基于學習進階的模型區分

許娟

【摘要】數學模型因為高度抽象，學生往往容易把它們混淆。本文從學習進階的角度為學生提供學習路徑，為學生區分數學模型建立切實可行的行動指南。

【關鍵詞】學習進階? 模型? 活動經驗

學習進階是學習者在學習某一主題的過程中，對于主題內概念的想法與理解程度逐漸加深的發展過程，一般呈現為圍繞核心概念展開的一系列由簡單到復雜、相互關聯的概念序列。

我國數學家徐利治教授認為：“數學模型乃是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。”數學模型因為高度抽象，學生往往容易把它們混淆。本文從學習進階的角度為學生提供學習路徑，為學生區分數學模型建立切實可行的行動指南。

一、三“階”設計，區分運算規律模型

“階”以學情的把握與分析為重要依據，是一個漸次遞進的過程，學習進階是學習者與知識之間主客體共同作用的結果。對于“乘法結合律和分配律”模型，學生“錯用”“亂用”的情況很嚴重，教師教學時可以根據學生認知的特點，設計三“階”學習任務，引導學生學習，逐步實現基礎性和發展性目標。

1.第一階

我們已經學習了加法、乘法的運算規律，用字母怎么表示？

加法交換律? ? ? ? ? ? ?，加法結合律? ? ? ? ? ? ?，適用于? ? ? ? ? ? 運算;

乘法交換律? ? ? ? ? ? ?，乘法結合律? ? ? ? ? ? ?，適用于? ? ? ? ? ? 運算。

第一階為什么這樣設置？

反思學生的常見錯誤：25×12=25×10×2，沒有凸顯分配律與其他四條運算律的實質性區別。

2.第二階

加法交換律、結合律只適用加法運算，乘法交換律、結合律只適用乘法運算，這四條運算律都是單一運算的規律。教師由此很自然地提出問題：“加法和乘法之間有什么運算規律呢？”讓學生對知識加深印象，不容易弄混概念。

例如，一張桌子50元，一把椅子20元，購買課桌椅3套，一共要用多少元？

學生列式：（50+20）×3=50×3+20×3。

教師提問：為什么這樣算？

實際意義：一套桌椅70元，3套桌椅210元;3張桌子150元，3把椅子60元，一共210元。

算理推導：（50+20）×3=（50+20）+（50+20）+（50++20）=（50+50+50）+（20+20+20）= 50×3+20×3。

3.第三階

把具體的數據換成字母a、b、c（如圖2），總結出乘法分配律：（a+b）×c =a×c+b×c。

三階設計，包含了圖形語言、符號語言、文字語言，如果學生能夠在三種語言之間自主轉換，也就完全理解了乘法分配律。

二、拾“階”而上，區分度量單位模型

1. 一維長度、二維面積單位的區分

將“階”的知識嵌入錯題辨析，不僅有利于教師進行精準的結構性補償教學，而且有利于發展學生的數學學習能力。

例如：一間會議室面積是64平方米，如果用邊長是8分米的方磚鋪地面，需要多少塊方磚？

有的學生錯誤地列式：64÷8=8（塊）。

根據學生的錯誤，教師需要進行補償性教學：

（1）區分概念，教師比畫1分米、1平方分米、1米、1平方米的大小。

（2）再現性情景應用，根據鋪方磚的場景（如圖3），列式：6400-64-64-64……

（3）生成性情景應用，教師提問：減去多少個64呢？最終列式：6400÷64=100。

8分米? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 64平方分米

對長度、面積單位模型的區分，教師不僅僅是讓學生復習之前學過的知識，更是為了層層進階，讓學生建立新的學習策略。

2.整數、小數長度單位的區分

著名數學家波利亞曾精辟地指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學;但另一方面，它是創造過程中的數學，看起來卻像是一門實驗性的歸納科學”，并指出“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使他們能看得見摸得著”。

0.6米=6（? ?），要在括號里填合適的單位名稱，學生會在“毫米”“分米”“厘米”三個單位之間猜想。天津的一位教師在上課時，讓學生在尺上標注0.6米，學生給出了3種不同的答案。

如圖（圖4、圖5、圖6）：

圖4中，學生認為，有6個“毫米格”，0.6米就是6毫米。圖5中，學生認為，有6個“厘米格”，0.6米就是6厘米。圖6中，學生認為，0.6米是6分米，手指著沒有刻度的米尺，從0.6米（6分米）、0.7米（7分米）、0.8米（8分米）、0.9米（9分米），一直數到1米。前面兩位學生忽然發現：0.6米標在6毫米、6厘米處太小了。學生在數數和比畫的過程中積累了活動經驗。

數學活動經驗是知識、是過程、是經歷，主體性、動態性、活動性是其主要特征。學生在“做數學”的過程中、在“數學化”的過程中、在“數學探究”的過程中，獲得了活動經驗。在“0.6米=6分米”的教學中，活動經驗發揮了關鍵作用，學生從中享受到了學習進階的成功。

（作者單位：江蘇省句容市教師發展中心）