尋跡“理解證據(jù)”：數(shù)學習題教學的著力點

凌建青

摘要：“理解”是數(shù)學學習的目標指向，亦是過程追求。“解題”是促進學生數(shù)學理解的載體，又是檢測學生是否實現(xiàn)預(yù)期學習目標的反饋環(huán)節(jié)。學生能闡述解題的思考過程，能應(yīng)對變式練習，能靈活遷移等，可視作學生解題的“理解證據(jù)”。尋跡理解證據(jù)是習題教學走向高效的精準著力點。

關(guān)鍵詞：理解;理解證據(jù);習題教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）02A-0106-05

教學的本質(zhì)是促進學生的學。教學首先要考慮學生的預(yù)期學習結(jié)果，即要實現(xiàn)怎樣的學習目標。其次，要明確學生怎樣的行為可以確證他們達到了預(yù)期的學習結(jié)果，然后再設(shè)計學習體驗和教學活動。這是有別于傳統(tǒng)教學的“逆向教學設(shè)計”，即追求以學生的學習為目標的教學設(shè)計。“逆向教學設(shè)計”認為“教學行為都是基于一定的教學目標，若是缺少了最后結(jié)果反饋的環(huán)節(jié)，那么教學是否有效就無從判斷，它的合法性是不成立的，因此關(guān)注學生的結(jié)果也是教學行為的題中之義。”[1]習題是小學數(shù)學學科內(nèi)容的重要組成部分，解題是有效評估學生學習結(jié)果的“反饋環(huán)節(jié)”。正如數(shù)學家波利亞說過：“掌握數(shù)學意味著什么呢？意味著善于解題。”當然，解題只是學生的一種外顯行為，其最終的目的是通過“解題”評估學生是否真正理解了所學的內(nèi)容。

一、作為評估數(shù)學學習的“理解”

對于數(shù)學教師來說，“理解”一詞是再熟悉不過了，比如讓學生“理解算理，掌握算法”“理解等式的性質(zhì)”等，但對于這個耳熟能詳?shù)摹袄斫狻保覀兪欠裾娴睦斫饽兀?/p>

1.作為學習結(jié)果的“理解”

“理解”是一種學生學習數(shù)學應(yīng)追求的結(jié)果。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》把“了解”“理解”“掌握”“運用”作為一類描述結(jié)果目標的行為動詞。而“理解”是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。”[2]可見，“理解”與“了解”不同，“了解”表示“知道”或者“初步認識”，指向的是事實性知識。盡管數(shù)學學習是從“了解”開始，但了解了事實性知識并不能導致“理解”。“理解”指向知識本質(zhì)，是學生探索事實意義的結(jié)果。如知道“60%是一個百分數(shù)”是“了解”，認識到“60%表示的是一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)”則表明“理解”了百分數(shù)的意義。

2.作為學習過程的“理解”

理解需要時間和精力，“理解”不僅表示學習結(jié)果，也是一種推斷、推理的學習過程。“理解就是將我們的知識聯(lián)系、結(jié)合起來，從而弄清楚事物的含義（如果沒有理解，我們可能只會看到含糊的、孤立的或者無用的事實）。”[3]7數(shù)學知識需要通過“理解”這一過程來實現(xiàn)“理解了”的結(jié)果。如認識三角形，不僅需要通過提供多元表征，讓學生建立三角形的直觀表象，還要通過正例、反例的辨析，建構(gòu)“三條線段首尾相接的平面圖形是三角形”的概念。學生認識到三角形不是某個具體的實物形狀或者是特定圖形，而是一個抽象了的符號，才能表明學生對三角形真正理解了。

3.作為學習目標的“理解”

“理解”還是“掌握”和“運用”的基礎(chǔ)。“理解意味著能夠智慧和有效地應(yīng)用與遷移——在任務(wù)環(huán)境中，有效地運用知識和技能。”[3]7而“掌握”和“運用”又能反過來檢測學生理解的程度。因此，能否真正“理解”所學知識的本質(zhì)應(yīng)該成為每節(jié)課的學習目標之一，“理解”也是評估學生預(yù)期學習結(jié)果的重要指標。解題是學生鞏固知識技能的“必選動作”，也是對知識技能進行遷移和應(yīng)用的重要途徑。通過解題讓“理解”走向“掌握”和“運用”，只有“理解了”才能“掌握”和“運用”，反過來只有通過“運用”才能加深和強化對知識本質(zhì)的理解。

二、尋跡學生解題過程的理解證據(jù)

波利亞在《“怎樣解題”表》中將解題過程分為四步：審題、制定解題計劃、執(zhí)行計劃和回顧。首先，需要分析題目中的已知條件和問題，將已有的知識、經(jīng)驗與新知識建立聯(lián)系，進行信息加工。其次，要調(diào)動相關(guān)的方法和策略規(guī)劃解題的思路，并運用適合的方法付諸實踐。最后，還要對自己的解題過程和結(jié)果回顧、檢驗。雖說小學數(shù)學的習題相對簡單，但成功解題一定是學生經(jīng)歷獨立思考后的結(jié)果，而這個思考的過程是別人無法替代的。學生能脫離他人的幫助成功解題也是教學的最終目標之一。數(shù)學課堂的“新授環(huán)節(jié)”會涉及解題，但無論是教師的示范講解，還是以組織者、引導者、合作者的身份參與學生解題，都會在一定程度上“干預(yù)”學生的獨立思考。因此，獨立完成解題是表明學生“理解”的先決條件、首要證據(jù)。當然，獨立解題并不等于理解，學生在解題過程中有怎樣的表現(xiàn)，才是表明理解的證據(jù)呢？

1.闡明思考過程

語言是思維的外殼。有經(jīng)驗的老師總喜歡在課上問學生“你是怎么想的”，讓學生把想法說出來，通過“出聲的思考”來判定學生的掌握情況。正所謂“心求通而達，口欲言而能”，要把一個問題、一件事完整清晰地表達出來，必須先要想明白、理通順。解題是一個復(fù)雜的思維過程，學生能有條理地講清解題思路，則可以判定學生已經(jīng)掌握了這題的解題方法或者策略，即便是再簡單的內(nèi)容亦是如此。如教學“整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算”時，學習完“20×3”和“200×3”后，讓學生練習“800×3”，當學生能說出“8個百乘3是24個百，是2 400，所以只要先算8×3等于24，然后在后面添兩個0”時，即學生不僅能說出了怎么算的（算法），而且說出了為什么要這么算（算理），以此可作為學生的理解證據(jù)。

2.應(yīng)對習題變式

變式是指通過變換同類事物的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度和方法，從而突出事物的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素，讓學生在變式中思維，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律[4]。變式在日常教學中有著廣泛的運用，數(shù)學變式教學一般分為概念變式和習題變式。“變式題”的難度通常略高于基礎(chǔ)題，是在不改變知識內(nèi)容的本質(zhì)屬性的前提下改變習題的形式。如《乘法分配律》的教學，像“25×13+75×13”屬于基礎(chǔ)題，解題時學生可直接套用乘法分配律的字母表達式“a×c+b×c=（a+b）×c”進行計算，不一定需要“理解”。而像“58×99+58”則屬于“變式題”，如果沒有理解乘法分配律的實質(zhì)，學生就會發(fā)現(xiàn)“直接套用不行，缺了一個數(shù)”。學生要從乘法意義角度理解才能正確簡算，即“99個58加上1個58等于100個58”。可見，學生解決“變式題”的過程就是一個排除干擾因素，把握數(shù)學本質(zhì)，融會貫通地運用知識的過程。教師要充分設(shè)計或運用“變式題”，來檢驗學生的理解。

3.靈活遷移應(yīng)用

“遷移”是學習發(fā)生的重要指標，“應(yīng)用”是遷移的重要表征之一，也是檢驗學習結(jié)果的最佳途徑[5]。習題教學中，可能會出現(xiàn)以下兩種情況，一是學生已經(jīng)理解并掌握了習題涉及的本質(zhì)內(nèi)容，但卻在解題的過程中表現(xiàn)不好;二是沒有理解并掌握習題涉及的本質(zhì)內(nèi)容，卻在解題的過程中表現(xiàn)良好。顯然，對于出現(xiàn)第一個問題的情況不難理解，只要分析錯誤原因即可。但對于第二個問題，則需要考慮習題本身的評估標準是否指向?qū)W生知識的遷移和應(yīng)用。評估遷移發(fā)生需要兩個要素：“外觀與感受都比較新穎的任務(wù)和讓學生將先前知識運用于具體情況的環(huán)境。”[6]也就是學生能在陌生的情境中將所學的知識靈活應(yīng)用。如學習了“圓的認識”后，布置“為什么窨井蓋和車輪要做成圓的”;學習了“認識三角形”后布置“椅子搖晃了，可以用什么辦法來解決”等。這些指向知識應(yīng)用的社會實踐類的題目，不僅是檢驗學生知識遷移應(yīng)用的途徑，也是數(shù)學教學的應(yīng)然追求。

三、基于“理解證據(jù)”的習題教學原則

1.“理解為先”的設(shè)計原則

習題作為數(shù)學課程的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學生學科核心素養(yǎng)的重要載體，也是提高教學質(zhì)量的關(guān)鍵因素。習題設(shè)計考驗著教師的專業(yè)能力，習題的內(nèi)容導向、目標引領(lǐng)決定著學生的發(fā)展方向。事實證明，重復(fù)機械的“題海戰(zhàn)術(shù)”的效果事倍功半，只會在加重學生負擔的過程中消磨學生的學習興趣。數(shù)學是“講理”的，是以學生學會“理性地思考”為目標的。習題設(shè)計也應(yīng)遵循以“理解”為目標，綜合考慮習題的鞏固性、挑戰(zhàn)性、應(yīng)用性、拓展性特點，基于尋求學生解題的理解證據(jù)進行設(shè)計，“以始為終”才能“事半功倍”。

2.“循序漸進”的組織原則

為了讓解題更好地促進學生的理解，教師要架構(gòu)習題的結(jié)構(gòu)。一般按“基礎(chǔ)題”“變式題”“遷移應(yīng)用題”的順序有層次地組織學生獨立解題。在學生獨立解題過程中，教師也要介入其中，要根據(jù)學生的學情反饋及時調(diào)整習題的呈現(xiàn)。當發(fā)現(xiàn)大部分學生無法應(yīng)對“變式題”或者“遷移應(yīng)用題”的挑戰(zhàn)時，還需要回到“基礎(chǔ)題”，加強對概念或者技能的鞏固上來。這也正是優(yōu)秀教師，為什么要在學生解題時不斷地“巡視”學生解題過程的原因。教師不僅要呈現(xiàn)有層次的習題，更要了解學生在解題過程中的真實表現(xiàn)，及時調(diào)整習題的呈現(xiàn)序列，實現(xiàn)真正意義上的“循序漸進”。

3.“因材施教”的實施原則

“因材施教”中的“材”既是指教材，又是指學生。盡管對于習題教學要以“理解”為目標，但還是應(yīng)遵循“因材施教”的原則。首先，從教材內(nèi)容來看，不是所有的習題設(shè)計都是指向“理解”的。對同一內(nèi)容，不同階段的要求是不同的。如“角”“三角形”“平行四邊形”“圓”等平面圖形在“第一學段”的要求是“認一認”，習題的教學指向“了解”為目標。這些內(nèi)容安排在“第二學段”時，涉及了圖形的基本概念，則需要設(shè)計以“理解”為目標的習題。其次，學生的差異是客觀存在的，同一習題，對于不同層次的學生在以“理解”為目標的層次上要區(qū)別對待，這吻合了數(shù)學課程標準提出的理念“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”。

四、基于“理解證據(jù)”的習題教學實施

1.解讀教材，習題結(jié)構(gòu)化

教材是集“課標精神”、編者意圖、教法、學法引領(lǐng)等要素于一身的內(nèi)容載體，是教師組織教學最主要的內(nèi)容文本。教師解讀教材時，要結(jié)合自己對“課標精神”和編者意圖的理解，根據(jù)學生實際，制定切實可行的學習目標。制定目標的過程也是一個目標分類的過程，要分清哪些內(nèi)容指向“了解”，哪些內(nèi)容指向“理解”等，再根據(jù)目標指向?qū)滩奶峁┑牧曨}進行必要的加工、改造，落實到教學活動中去。如蘇教版四年級《射線、直線、角》一課（見表1），要求學生對線段、射線、直線正確識別的習題是指向“了解”的，只要讓學生觀察這些圖形表征的外在特點：“直的，有幾個端點”，學生就能鑒別。而對于它們的本質(zhì)特征“有限長”和“無限長”的比較，需要設(shè)計指向“理解”的習題。因為線段有起點和終點，所以有限長;射線和直線是可以向一邊或者兩邊無限延長的，所以無限長。可見，基于數(shù)學知識本質(zhì)的習題一定是指向?qū)W生理解的。

2.關(guān)注學情，教學序列化

“以學情分析來尋求教學的起點”已經(jīng)成為廣大教師的共識，在學生解題過程中，教師也要將“學情關(guān)注”進行到底。只有將學生內(nèi)在思維活動外顯為可視的言語和行為，才能真實地掌握學生解題時的理解證據(jù)。首先，教師要努力成為一名傾聽者，給學生創(chuàng)設(shè)更多的時間和空間，使其解題時不能只顧“動手做”，還要養(yǎng)成“動腦想”，更要“動口說”。其次，教師要努力成為一名觀察者，在學生解題時不斷巡視，觀察學生群體在面對習題的挑戰(zhàn)時（可能來自變式題，也可能來自遷移應(yīng)用題），能否在新的情境中靈活運用知識技能，是否需要進行習題序列的調(diào)適。如蘇教版六年級下《比例的基本性質(zhì)》一課中，習題“根據(jù)3×4=2×6寫出比例”是對基本題的變式，但學生解題時大面積出現(xiàn)了“3：4=2：6”的錯誤解法。詢問學生想法后發(fā)現(xiàn)，對于比例的基本性質(zhì)“因為a：b=c：d，所以ad=bc”，學生無法進行逆向遷移，也就是不知道根據(jù)“ad=bc”也能推出“a：b=c：d”。而比例的基本性質(zhì)是一個充分必要條件，順向推理和逆向推理都成立。同時，教師教學的重點也放在了順向推理上，即“因為a：b=c：d，所以ad=bc”造成了學生的不理解。學生解題時的學情反饋檢測出了教師教學的不足，這就需要教師重新調(diào)適教學。

3.促進發(fā)展，評價多元化

學生的差異性決定了解題過程和結(jié)果的多樣性，不同的學生在解題時表現(xiàn)不同，這也給教學評價帶來了挑戰(zhàn)。評價的目的是促進學生的發(fā)展，因此，教師對于學生解題的評價要有不同的“尺”。首先，解題是通過知識技能的運用來促進“理解”和獲得“理解”的過程，以“理解證據(jù)”評估學生的解題是“第一把尺”。如做計算時不僅掌握算法，還能理解算理;解決問題時，不僅能獲得答案，還能概括出數(shù)量關(guān)系。其次，解題過程要注重學生良好習慣的養(yǎng)成，如仔細審題、自覺檢驗等。良好的解題習慣是提升學生解題能力的前提，也是學生一生受用的關(guān)鍵能力，這是“第二把尺”。再次，習題的類型各異，難易程度不同，有些習題的結(jié)果不唯一，即使結(jié)果唯一解題的方法也是多樣化、差異化的。教師不能只顧解題的結(jié)果，也要“理解”學生不同方法背后的真實想法，尊重差異，允許合理的多元化，這是評估學生解題的“第三把尺”，因為創(chuàng)造往往是在寬松、和諧的環(huán)境中生長出來的。當然，需要指出的是，有些題目的方法多樣化，教師還是有必要進行分析、比較、優(yōu)化，因為小學生對自己的解題是沒有判斷能力的，往往認為自己想出來的方法是最好的。

在扎實推進小學數(shù)學“雙基教學”，落實“精講多練”的同時，作為數(shù)學教師需要進一步明確的是，掌握了知識與技能并不表示學生能夠靈活運用，只有真正理解了，才能在新的問題情境中實現(xiàn)遷移應(yīng)用。正如約翰·D.布蘭思福特《人是如何學習的》一書中所指出的，“當學生學會如何從他們的練習中提取內(nèi)在的聯(lián)系和主題，他們就能夠形成何時、何地、為什么以及如何運用所學知識來解決新問題的靈活理解了。”

參考文獻：

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責任編輯：李韋