將數學史融入“平面圖形面積”教學設計研究

盧揚慧

[摘? 要] 數學史作為一種能夠促進小學數學教學的重要手段，能夠豐富學生的數學認知，提高課堂教學效果和學生的數學能力。要求教師在教學過程中，能夠有意識地整理數學史知識，認真分析教材，這樣才能夠將數學史更好地融入課堂教學中，才能夠利用數學史提高課堂教學效果，提高學生的數學能力。

[關鍵詞] 數學史;平面圖形面積;教學設計

平面圖形面積的知識是小學數學的重要組成部分，并且在小學階段的數學學習中占據著重要的地位。平面圖形面積的教學內容是學生第一次接觸空間幾何抽象知識的計算問題，是今后學生學習立體圖形面積計算的基礎。在平面圖形面積的教學中，存在著諸多問題，很多教師將計算和解題技巧作為該部分知識教學的重點開展，忽略了數學文化和數學思想的滲透，導致學生只能夠機械地記憶數學計算公式，自身的數學能力得不到有效的提高。隨著教育改革的實施，數學文化的地位逐漸凸顯出來，數學史作為數學文化的重要組成部分，成了在數學教學中滲透數學文化的重要途徑。將數學史融入平面圖形面積的教學中，能夠打破傳統課堂中教師“重計算輕文化”“重技巧輕思想”的教學模式，加強學生的數學學習動力，轉變學生的數學認知，提高學生的數學能力。

一、數學史融入數學教學概述

數學史作為一種能夠促進小學數學教學的重要手段，如何將其更好地融入數學課堂教學是一線數學教師研究的重要課題。就目前現階段的數學課堂教學而言，其中運用數學史最常見的方式是引入歷史人物或歷史著作來補充教材知識。有人對目前國內將數學史融入課堂教學的方式做了總結，多數是直接引用數學史來輔助教學，這類數學史存在與否不會對數學教學內容產生任何影響;還有部分屬于間接引用，是根據原有歷史內容進行改編，與現有的教學內容相融合，讓學生沿著古人學習的路線進行學習。

二、與平面圖形面積相關的數學史探究

與平面圖形面積相關的數學史材料主要包括古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國四部分的歷史。古埃及是幾何的發源地，當地的居民很早就開始對土地進行測量，開始對平面圖形的面積進行計算。在公元前1650年左右的著作《萊因德紙草書》中就對矩形、三角形和梯形進行了面積計算，其中古埃及人通過兩邊相乘來計算矩形的面積;由于缺乏對“高”的認識，古埃及人通過梯形和三角形的腰替代它們的高來計算等腰三角形和等腰梯形的面積。古巴比倫具備了對三角形、梯形等平面圖形面積的計算能力，同時具備了逆運算的能力，能夠通過圖形中的某些參數來計算另一參數。需要說明的是，古埃及和古巴比倫在計算四邊形的面積時，都將兩組對邊的邊長的算式平均之積作為圖形的面積公式。古印度幾何學對平面圖形的面積計算開始出現了“割補法”，他們將等腰梯形割補成長方形再來計算其面積。我國古代《九章算術注》中對長方形的面積公式做了論述。同時，還通過“以盈補虛”的方式將三角形、直角梯形和等腰梯形割補成長方形來進行驗證計算。從整體上來看，影響東西方數學發展最大的就是古希臘的《幾何原本》和我國的《九章算術注》，在這些著作中，探究平面圖形的面積公式時都涉及了割補法。在平面圖形面積計算部分的課堂教學中，教師就可以將割補法的理念引入其中，讓學生與古代數學家共同探究平面圖形的面積，提升學生的情感體驗。

三、將數學史融入“平面圖形面積”教學設計

1. “平行四邊形面積”教學設計研究

在平行四邊形面積的課堂教學中，首先可以引入古埃及尼羅河泛濫，人們需要重新測量更低的面積，激發學生對平行四邊形面積計算的學習興趣;然后通過引導學生回顧長方形和正方形這類特殊圖形的面積公式來思考平行四邊形面積公式的計算方法;之后學生通過合作探究的形式，利用方格紙自己動手操作，探究平行四邊形面積的計算公式;最后引出歐幾里得《幾何原本》中的相關知識來總結課堂教學。具體操作如下：

課堂導入環節：教師提出問題：“大家知道古代的數學是什么樣子嗎？下面我們就一起去看一下。”播放尼羅河泛濫的視頻。

接著提出問題：“尼羅河泛濫以后，原來土地的邊界都不清晰了，又出現了新的土地（有平行四邊形、三角形、梯形等），埃及的法老需要重新對土地進行丈量分配。下面請大家思考一下，如何才能夠實現公平的土地分配？這就需要計算出這些土地的面積，然后再進行重新分配。”

教師將圖形提取出來，并標上數值，引導學生進行圖形計算。

通過圖形展示，引導學生先計算學過的長方形土地的面積，同時引出本節課教學的內容：學習平行四邊形面積的計算。

探究新知環節：教師出示平行四邊形圖形，讓學生嘗試計算平行四邊形的面積，學生可以根據自己的方法來計算，并保留計算結果;之后將出示的平行四邊形成比例縮放到方格紙上，通過數方格的方式來計算平行四邊形的面積，然后再與計算的結果進行對比;最后教師通過電腦軟件展示平行四邊形割補成矩形的過程，使平行四邊形轉化為長方形，這樣就可以將新學的知識與原有的知識聯系到一起，提高學生的數學學習成就感。

教師選擇一些不同形狀的平行四邊形，讓學生動手試一試能否將它們轉化成長方形。通過學生的操作引導學生思考下列問題：

（1）通過圖形轉化，平行四邊形和長方形的哪些地方發生了變化，哪些地方沒有變化？

（2）新形成的長方形與原有的平行四邊形的底和高有什么聯系？

（3）能不能根據長方形的面積公式來推導出平行四邊形的面積公式？

教師圍繞這三個問題引導學生開展探究學習。

拓展提高環節：讓學生嘗試在方格紙上快速畫出幾個面積相等的平行四邊形，并說明能夠快速畫出來的理由，引出“同底等高、等底等高的平行四邊形的面積相等”，這就是歐幾里得《幾何原本》中關于平行四邊形面積的論述。

2. 梯形面積教學設計研究

在梯形面積的教學中，教師可以通過引導學生回顧三角形面積和平行四邊形面積的方式引出梯形面積的學習，鼓勵學生對梯形的面積進行探究，并引入“出入相補”的原理來分析，再向學生介紹劉徽推導梯形面積的過程，讓學生的思維得以進一步升華，最后利用所學的知識解決尼羅河土地分配問題。

課堂導入環節：教師提出問題：“大家回顧三角形面積和平行四邊形面積的推導公式，并回顧它們的推導過程。通過前幾節課的學習，我們幫助埃及法老解決了平行四邊形土地和三角形土地的丈量問題，那么還剩下這些梯形的土地需要我們解決，接下來就一起探究梯形的面積公式吧。同學們可以根據自己的喜好，選擇圖3中任一梯形進行研究，同時，完成下方的任務要求。”

大家合作探究以后，教師向學生介紹劉徽的“出入相補法”，讓學生感覺到自己的數學探究過程與我國著名數學家的思想不謀而合。在幫助學生回顧梯形面積公式推導過程的同時，提高學生的學習熱情。最后，教師總結梯形面積公式，引導學生總結梯形面積公式的推導過程，加深對梯形面積公式的理解。

四、小結

數學史的應用與數學課堂教學的形式較多，但多數都是生硬的引入。文中以平面圖形面積的教學為例，從整個單元的角度設計尼羅河泛濫引發的土地重新分配問題，其中穿插古代數學知識，真正將數學史融入了課堂教學，發揮了數學史的作用。這就要求教師在教學過程中，能夠有意識地整理數學史知識，認真分析教材，這樣才能夠將數學史更好地融入課堂教學，才能夠利用數學史提高課堂教學效果，提高學生的數學能力。