巧設(shè)“問(wèn)題鏈”，掀起數(shù)學(xué)思維千層浪

李云

[摘? 要] “問(wèn)題”是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的源泉，也是學(xué)生數(shù)學(xué)探究的動(dòng)力。設(shè)計(jì)、研發(fā)富有層次性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性、開(kāi)放性的“問(wèn)題鏈”，能夠讓學(xué)生深度思考、探究、研討。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，“問(wèn)題鏈”不僅僅是一種教學(xué)手段、策略，更是一種具有可操作性的教學(xué)范式、模式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用“問(wèn)題鏈”，能掀起學(xué)生數(shù)學(xué)思維的千層浪，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值與學(xué)力生長(zhǎng)的融合共生、融合創(chuàng)新、同生共長(zhǎng)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì);思維激發(fā)

“問(wèn)題”是數(shù)學(xué)的心臟，“問(wèn)題”是思維的源泉，“問(wèn)題”是探究的動(dòng)力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以以“問(wèn)題”為中心，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。但問(wèn)題的設(shè)計(jì)、研發(fā)并不容易。一方面，問(wèn)題要凝練數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì);另一方面，問(wèn)題要能切入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。只有巧妙地設(shè)計(jì)、研發(fā)富有層次性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性、開(kāi)放性的“問(wèn)題鏈”，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“一波未平一波又起”，進(jìn)而掀起學(xué)生數(shù)學(xué)思維的浪頭。在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“問(wèn)題鏈”是一個(gè)載體、一個(gè)橋梁、一根紐帶、一條鎖鏈，將學(xué)習(xí)目標(biāo)與學(xué)生已有認(rèn)知緊密相連，從而能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)生飛躍、發(fā)生躍遷。

一、研發(fā)發(fā)現(xiàn)式“問(wèn)題鏈”，引發(fā)學(xué)生深度思考

古人云：“善教者，必善問(wèn)。”“問(wèn)題鏈”是學(xué)生學(xué)力培養(yǎng)的“發(fā)動(dòng)機(jī)”，能引導(dǎo)學(xué)生思維、強(qiáng)化學(xué)生思索。作為教師，要通過(guò)諸多手段、方式、策略對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體謀劃，通過(guò)鋪層巧設(shè)、多維解析，引發(fā)學(xué)生本質(zhì)性、關(guān)聯(lián)性地思考。“問(wèn)題鏈”能幫助學(xué)生打開(kāi)思維的閘門(mén)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維噴涌開(kāi)來(lái)。小小的問(wèn)題往往能觀(guān)照“大意圖”，具有一種指向性、聚焦性。以問(wèn)題為載體，不是要進(jìn)行“告訴”，也不是要“和盤(pán)托出”，而是要進(jìn)行啟發(fā)，要進(jìn)行旁敲側(cè)擊，進(jìn)而讓學(xué)生從已知到未知，催生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能將數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單地“告訴”學(xué)生，將數(shù)學(xué)的結(jié)論“和盤(pán)托出”，而應(yīng)當(dāng)以問(wèn)題為載體，進(jìn)行旁敲側(cè)擊。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)），首先出示數(shù)學(xué)信息“一臺(tái)拖拉機(jī)每小時(shí)耕地 公頃”，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題。比如“2小時(shí)耕地多少公頃”“ 小時(shí)耕地多少公頃”“ 小時(shí)耕地多少公頃”，等等。通過(guò)提煉，形成了三個(gè)“問(wèn)題鏈”：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)表示什么？（意義）分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)怎樣算？（算法）分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)為什么這樣算？（算理）這樣的“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)、研發(fā)，有助學(xué)生展開(kāi)深度的數(shù)學(xué)思考。學(xué)生從“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”類(lèi)推出“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的意義，根據(jù)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則猜想“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的計(jì)算法則;根據(jù)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的算法推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)畫(huà)圖、折紙等多種方法進(jìn)行探究。“問(wèn)題鏈”催生學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的意義與“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”的意義完全相同，法則也是一致的，算理也是一脈相通的。“問(wèn)題鏈”激發(fā)學(xué)生思考的興趣，開(kāi)啟學(xué)生數(shù)學(xué)思考的旅程。教學(xué)中學(xué)生運(yùn)用多種方法進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引發(fā)了學(xué)生彼此之間的互動(dòng)交流，讓數(shù)學(xué)知識(shí)得到了深度的整合、融通。

研發(fā)發(fā)現(xiàn)式“問(wèn)題鏈”，要求教師洞察知識(shí)精髓，進(jìn)而把握問(wèn)題的主脈，充分發(fā)揮問(wèn)題提綱挈領(lǐng)的作用。“問(wèn)題鏈”可以由教師精心設(shè)計(jì)，也可以由學(xué)生共同研發(fā)。相比較而言，學(xué)生自行研發(fā)的“問(wèn)題鏈”更能激發(fā)學(xué)生思考的興趣、研討的興趣。設(shè)置發(fā)現(xiàn)式“問(wèn)題鏈”，要目的明確，難易適中，只有這樣才能讓學(xué)生“跳一跳，摘得果實(shí)”;設(shè)置發(fā)現(xiàn)式“問(wèn)題鏈”，能對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的導(dǎo)學(xué)，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，生成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、研發(fā)階梯式“問(wèn)題鏈”，引發(fā)學(xué)生深度探究

“問(wèn)題鏈”的“鏈”，是一種“連續(xù)體”，是將問(wèn)題串接起來(lái)的連續(xù)體。“問(wèn)題鏈”不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的抓手、橋梁和紐帶。在“問(wèn)題鏈”中，問(wèn)題與問(wèn)題之間應(yīng)當(dāng)具有一種層次性、階梯性的關(guān)系，問(wèn)題與問(wèn)題之間應(yīng)當(dāng)是相互關(guān)聯(lián)、相互銜接的關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于設(shè)置“問(wèn)題鏈”，正如《禮記·學(xué)記》中所云：“善問(wèn)者如攻堅(jiān)木：先其易者，后其節(jié)目;及其久也，相說(shuō)以解。”研發(fā)階梯性“問(wèn)題鏈”，一方面要有助學(xué)生逐步深入數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)深處，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)形成理解;另一方面要求教師把握學(xué)生的具體學(xué)情，讓學(xué)生借助“問(wèn)題鏈”，逐步突破自我的迷思、相異構(gòu)想。教師要善于將“大問(wèn)題”分解成若干“小問(wèn)題”，從而引導(dǎo)學(xué)生步步逼近探究，逐個(gè)擊破。如此，不僅能疏通、化解、消除學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理障礙、困惑，更能增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心。

比如教學(xué)“平行四邊形的面積”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）這一部分內(nèi)容，基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的整體性關(guān)照視角，我們首先提出了一個(gè)具有統(tǒng)領(lǐng)性、包攝性的“主問(wèn)題”：怎樣計(jì)算平行四邊形的面積？這個(gè)問(wèn)題具有發(fā)散學(xué)生思維的作用。比如有學(xué)生認(rèn)為，可以和長(zhǎng)方形、正方形一樣，首先測(cè)量平行四邊形的底、斜邊，然后進(jìn)行計(jì)算;有學(xué)生認(rèn)為，可以先測(cè)量平行四邊形的底、高，然后進(jìn)行計(jì)算。那么，這兩種數(shù)學(xué)猜想，哪一種數(shù)學(xué)猜想可行呢？據(jù)此，學(xué)生將展開(kāi)深度猜想。有學(xué)生認(rèn)為，因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢酝评砷L(zhǎng)方形，所以第一種方法可行;有學(xué)生認(rèn)為，因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢酝ㄟ^(guò)剪拼，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，所以第二種方法可行。一個(gè)基本的共識(shí)就是，學(xué)生都認(rèn)為平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。基于學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想，筆者呈現(xiàn)了這樣的“問(wèn)題鏈”：運(yùn)用怎樣的方法轉(zhuǎn)化？在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中面積發(fā)生了變化嗎？轉(zhuǎn)化前后的圖形有怎樣的關(guān)系？“問(wèn)題鏈”助推學(xué)生展開(kāi)主動(dòng)探究，學(xué)生運(yùn)用方格紙、剪刀、平行四邊形框架等材料工具進(jìn)行深度探索。在這里，“問(wèn)題鏈”成為學(xué)生探究的主脈，成為學(xué)生探究的潛在平臺(tái)，也成為學(xué)生探究的內(nèi)在靈魂，發(fā)揮了提綱挈領(lǐng)的作用。

階梯性“問(wèn)題鏈”的設(shè)計(jì)，是一種有層次、有序列的設(shè)計(jì)，而不是“東一榔頭西一棒槌”。在設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”的過(guò)程中，教師首先要把握住“主問(wèn)題”，搭建出問(wèn)題的主要框架，在此基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)層層相關(guān)、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題。只有這樣，才能既體現(xiàn)出“問(wèn)題鏈”的主旨，又體現(xiàn)出“問(wèn)題鏈”的內(nèi)在脈絡(luò)、層次性以及邏輯性。“問(wèn)題鏈”要有明晰、明確的指向。通過(guò)階梯性“問(wèn)題鏈”，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能由淺入深、由易到難、由此及彼，進(jìn)而思考、探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

三、研發(fā)辨析式“問(wèn)題鏈”，引發(fā)學(xué)生深度研討

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是深度思考、深度探究的過(guò)程，也是一個(gè)深度研討的過(guò)程。研討需要學(xué)生展開(kāi)深度的思辨，去對(duì)相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行深度剖析。辨析式“問(wèn)題鏈”，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于一種恒久的活躍狀態(tài)，進(jìn)而能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究不斷進(jìn)階。教學(xué)中教師要引發(fā)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)的研討、協(xié)商，進(jìn)而催生學(xué)生的辨析，讓學(xué)生彼此的思維進(jìn)行碰撞，積極互動(dòng)，產(chǎn)生多向思維;讓學(xué)生以問(wèn)促思、層層深入、步步逼近。辨析是學(xué)生學(xué)習(xí)力發(fā)展的“發(fā)動(dòng)機(jī)”。實(shí)施“問(wèn)題鏈”教學(xué)，教師應(yīng)為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)心理安全、心理自由的深度研討氛圍。

以教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）為例，在出示了三個(gè)人的投籃次數(shù)、投中次數(shù)之后，筆者設(shè)計(jì)出了這樣的“問(wèn)題鏈”：怎樣比較三人投中的次數(shù)？怎樣比較三人的投中水平？怎樣將兩種量結(jié)合在一起進(jìn)行研究？這樣的“問(wèn)題鏈”，有助學(xué)生展開(kāi)積極的思辨。通過(guò)思辨，學(xué)生從研究投中次數(shù)與總次數(shù)的差、商關(guān)系中，漸漸達(dá)成共識(shí)，即應(yīng)該比較投中率，也就是投中的次數(shù)占總次數(shù)的百分比。在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)出百分?jǐn)?shù)的意義之后，筆者再次研發(fā)出這樣的“問(wèn)題鏈”去助推學(xué)生思辨：百分?jǐn)?shù)可以帶上計(jì)量單位嗎？分?jǐn)?shù)可以帶上計(jì)量單位嗎？為什么？百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)有怎樣的區(qū)別？既然有了分?jǐn)?shù)，為什么還需要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)？以這樣的“問(wèn)題鏈”承接第一階段的問(wèn)題思辨，將學(xué)生的深度研討推向深入。在研討之中，學(xué)生振振有詞：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，從這個(gè)定義可以看出，百分?jǐn)?shù)就是表示兩個(gè)“量”之間的倍比關(guān)系，因而百分?jǐn)?shù)“只表示率”“不表示量”，百分?jǐn)?shù)后面自然不能帶計(jì)量單位;因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，因而便于兩個(gè)量之間進(jìn)行比較，所以學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)之后還要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)，等等。通過(guò)思辨，學(xué)生的思維被激活，他們從被動(dòng)的、盲目的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)的、靈動(dòng)的學(xué)習(xí)。

“問(wèn)題鏈”是激活思維的“起搏器”，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎，能發(fā)揮“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的教學(xué)功用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以設(shè)置“問(wèn)題鏈”“問(wèn)題塊”“問(wèn)題群”等，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行有效導(dǎo)學(xué)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“問(wèn)題鏈”是學(xué)生學(xué)研的框架（腳手架），也是學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思維、綻放數(shù)學(xué)想象的載體。研發(fā)辨析式“問(wèn)題鏈”，有助于引發(fā)學(xué)生的深度對(duì)話(huà)、深度研討，有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值與學(xué)生學(xué)習(xí)力生長(zhǎng)的有效融合、同生共長(zhǎng)。

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家哈爾莫斯指出，“理論、定理、定義、證明、概念、公式、方法中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟，只有問(wèn)題才是數(shù)學(xué)的心臟”。“問(wèn)題鏈”教學(xué)是一種可操作的教學(xué)模式。當(dāng)教師在課堂學(xué)習(xí)中擁有了“問(wèn)題鏈”，數(shù)學(xué)教學(xué)就不再是“滿(mǎn)堂灌”“滿(mǎn)堂問(wèn)”“瑣碎問(wèn)”，而是一種以“問(wèn)題”為導(dǎo)引、以“問(wèn)題”為載體的有序、有向、有度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。運(yùn)用“問(wèn)題鏈”教學(xué)，猶如將一顆顆石子投向平靜湖面，必將掀起學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“千層浪”。