踐行“三個理解”的教學智慧

曹海霞

[摘? 要] 文章以“有理數與無理數”為載體，以“三個理解”為主線設計教學過程，并結合筆者自身的教學經驗，強調在教學中踐行“三個理解”應做到以下三點：認真貫徹理解數學，確立合適的教學目標;努力做到理解學生，設計合理的探究途徑;真正執行理解教學，設計真實、合情的情境，實現師生深層次對話.

[關鍵詞] 三個理解;理解數學;理解學生;理解教學;課堂教學;無理數

章建躍教授所指的“三個理解”，包含理解數學、理解學生、理解教學，是提高課堂教學有效性的根本保證，是將數學冰冷的美麗演繹成火熱的美麗的前提條件，也是課改大潮中數學教師“以不變應萬變”的真正法寶. 因而，從“三個理解”的角度設計課堂教學是十分必要的. 在此思想的指導下，筆者近期設計并講授了“有理數與無理數”一課，感觸良多，現就無理數的概念探究部分與大家一起探討.

課堂實錄

1. 提出問題

問題1：如圖1，如何將這兩個面積都是1的小正方形拼成一個面積較大的正方形？

教室里氣氛異常活躍，學生在動手操作后，有了以下成果展示.

生1：可拼成圖2.

生2：還可拼成圖3.

生3：還可拼成圖4.

師：那你們拼出的圖形是正方形嗎？

生4：根據正方形定義的描述，再結合全等三角形的知識，可以得出圖2、圖3、圖4都是正方形.

設計說明：此處將概念的背景展現出來，自然產生新概念，有力推進探究活動，同時，通過操作探究，培養了學生的動手操作能力和發散性思維，以及學生的探究意識，提升了數學核心素養，這也是教學的一大亮點.

2. 深入探究

問題2：那拼出來的大正方形的邊長又是多少？為什么？

生5：由于大正方形的面積是2，設邊長為a，則a2=2.

問題3：a到底有多大？

生6：比1大，比2小.

師：如何得出的？

生7：當a=1時，S=1;當a=2時，S=4. 而S=2，所以a在1和2之間.

師：非常精彩的思路，那是否可以做出更加精確的估計呢？（學生展開討論，但依然無果）

師：那我們一起來算一算，當a=1.4和a=1.5時S的值，可以得出什么結論？

生8：因為1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4

師：那是否可以精確到小數點后的兩位、三位、四位呢？（學生利用計算器展開探索，并得出如表1所示的探究過程）

問題4：還可以繼續探究嗎？

生：可以.

師：a是有限小數嗎？（學生繼續思考）

生9：經過觀察，我認為a好像是有限小數. （其他學生表示不一定）

師：那a到底是什么樣的小數？剛才我們已經知道了有理數的概念，知道了有理數都能表示成（m、n為整數，且n≠0）的形式，下面的數都是有理數，我們不妨把下面這些數表示成小數形式：3，，，，. （學生經過計算，得出3=3.0，=0.8，=0.55555……，=0.177777……，=0.1818181818……）

師：判斷一下上面這些數是什么小數？

生10：3，是有限小數，，，是無限循環小數.

問題5：由此你認為有理數是什么樣的小數？

生11：有理數可以用有限小數或無限循環小數表示，反之，任何有限小數或無限循環小數都是有理數.

師：那a2=2中a是什么小數？（學生猶豫了一下，之后有學生很快給出答案“無限不循環小數”）

3. 形成概念

師：無限不循環小數即為無理數. 除了剛才探究的a，如0.010010001……和圓周率π=3.14159265……同樣也是無限不循環小數，它們均為無理數.

生12：為什么是無限不循環小數呢？

師：目前我們所學的知識還沒有辦法進行證明，但是老師可以先給大家講個故事. 畢達哥拉斯是古希臘偉大的數學家，他證明了許多重要的定理. 公元前500年，畢達哥拉斯學派的一位弟子希帕索斯發現了一個驚人的事實，如果正方形的邊長為1，則對角線的長度不是一個有理數，這與畢達哥拉斯學派“萬物皆為數”（有理數）的哲理大相徑庭. 希帕索斯的發現首次揭示了有理數系的缺陷，引發了數學史上的第一次數學危機，希帕索斯也因此被沉入大海. 1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機. （觀看視頻：無理數的由來）

設計說明 通過本環節的探究，以教師的引導為源泉，在師生合作和生生交流的過程中，依據有理數與無理數的對比，使得學生對無理數的理解逐步深入，從而真正意義上感知到數域的擴充，為無理數概念的形成奠定堅實的基礎. 同時，通過視頻讓學生了解數學發展史，感受數學發展歷程中所經歷的波折.

教學感悟

1. 認真貫徹理解數學，確立合適的教學目標

理解數學，自然是從理解教材談起，正確理解編者的意圖，掌握教材的編排體系，了解學生認知結構與教材的關聯等，從而確立合適的教學目標[1].

本節課是有理數與無理數的概念教學，引導學生了解數域的擴充，是研究有理數的運算、二次根式、實數等知識的基礎. 本課的教學難點是“用有理數估計一個無理數的大致范圍”，體驗“無限不循環小數”的含義，對于“有多大”這個問題，是學生十分關注的具有挑戰性的問題，需要教師引起足夠重視. 對于無理數這一概念，我們不能期望通過一節課就使學生形成深刻的認識，在后面相關知識的學習中，學生對無理數的了解將會越來越深刻. 本節課我們要立足于重難點進行有效的教學設計，讓學生學有所得.

2. 努力做到理解學生，設計合理的探究途徑

理解學生，就需要充分關注具體學情，了解學生的認知特點、知識基礎和學習方式等. 只有明晰這些問題，才能真正在教學的過程中做到有的放矢，進而發揮學生在課堂教學中的主體地位. 教師需要理解新知與學生已有知識經驗間的聯系，需要理解新知與學生已有認知結構之間的距離，從而設計出合理而有效的探究途徑. 授課前，筆者自然對本班的學生做了充分的了解. 為了充分調動學生的學習積極性，教師多次鼓勵小組合作探究，激活學生的探究意識，以低起點、小跨度、高立意的問題引發學生的深度思考和探究[2].

很多時候，一些教師追求教學內容的完整性，卻忽視了學生的需求，這是不正確的. 面對學生的質疑和困惑時，教師更需要有所作為，牢牢把握教學活動中產生的閃光點，適時引導，從而使課堂教學變得更靈動. 本課中，針對“a是什么數”，教師引導學生通過計算器計算出結果的方法進行推導還是不夠謹慎，從而使得后面學生產生困惑“為什么a是無限不循環小數”. 這里需要利用分式的性質，用反證法來證明，但無論是分式還是反證法，學生都還沒有學習過，所以無法從根本上解決這一問題. 筆者經過思考，課前預設到了學生對無理數a的認知可能會出現困難，因此設計了教學視頻，將無理數的故事講給學生聽，讓他們了解數學的發展史，初步感知無理數與有理數本質上的區別，進而解決認知上的困惑.

因此，我們不僅需要理解教材中所呈現的數學知識，還需把握學生在習得概念時出現的困惑，并及時引導，讓新知的學習留下思維的烙印，從而實現數學素養的發展[3].

3. 真正執行理解教學，設計真實、合情的情境

理解教學，就是從教學規律出發，選擇適當的教學組織方式，及時調控教學過程，使學生在問題解決的過程中思維變得流暢，獲得較好的活動體驗，培養思維能力. 當然，數學教學的過程就是數學探究的過程，而設計真實、合情的問題情境是探究和學習的前提. 本節課的教學中，教師以“正方形的問題”導入，學生經過操作和思考給出了圖2、圖3、圖4，呈現了數學探究的過程. 而新的問題又出現了：圖2、圖3、圖4是正方形嗎？教師在這里自然地拋出這個問題，合理展示了無理數的探究背景，從而使得本課的知識結構得以自然發展，使得探究活動有力推進，進而引領學生學會有條理地思考.

總之，對于數學課而言，理解數學，自然是從理解教材談起，確立合適的教學目標;理解學生，就需要充分關注具體學情，設計合理而有效的探究途徑;理解教學，就是從教學規律出發，設計真實、合情的情境，從而指引學生走向知識的數學本質，發展學生的數學素養.

參考文獻：

[1] 徐淮源. 基于教材理解下的高中數學概念教學設計——以“三角函數的周期性”為例[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2010（02）.

[2] 袁永春. 注重知識形成過程的初中數學教學案例研究[J]. 中學數學，2019（02）.

[3] 夏炳文. 強化“三個理解” 打造活力課堂——以一節試卷講評課為例[J]. 中國數學教育，2016（10）.