一道面積問題的多解和兩個一般性結論

蔣良金

[摘? 要] 文章對一道平行四邊形面積問題進行多種思路探究，得到多種解法和一個這類問題的一般性結論與一個這類問題的求解公式.

[關鍵詞] 面積;多解;結論;公式

起因和解法1

一位學生向筆者請教一道課外習題：

如圖1所示，在？荀ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上.

（1）若AB=10，AB與CD間的距離為8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面積.

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為5、3、4，求△DEF的面積.

學生會做第（1）小題，要請教的是第（2）小題怎么解. 筆者看了一下第（1）小題，了解其解題思路和命題者的意圖，于是畫出圖2.

過點F作FM⊥AB于點M，交DC延長線于點N. 設AE=a，BE=b，FM=x，FN=y，則有 a（x+y）=5， （a+b）y=4， bx=3，化為a（x+y）=10，? ①（a+b）y=8，? ?②bx=6.? ? ? ? ③

由①+③=②×2得：a（x+y）+bx=2（a+b）y，所以ax+bx-ay-2by=0，該式不能解決問題.

由③×2+②=①×2得：2bx+ay+by=2ax+2ay，所以（b-a）（2x+y）=0. 因為2x+y≠0，所以b-a=0，所以a=b. 那么由②得by=4，所以bx+by=6+4=10，即b（x+y）=10，那么S？荀ABCD=a（x+y）+b（x+y）=20，所以S△DEF=20-5-3-4=8.

在上述的解題過程中，為什么由①+③=②×2得的結果不能解決問題，而由③×2+②=①×2得的結果能解決問題？這種解法怎么會有偶然性？這引起學生的疑惑和筆者的思考，促使筆者對此題進行深入探究，得到下列解法和一般性結論.

解法2

利用同高的兩個三角形的面積比等于底邊的比，兩相似三角形高的比等于邊長比，平行四邊形對角線把其面積平分等知識求解，得到解法如下：

解 如圖3，連結BD，設S△BDE=a，則S△BDF=a+1，設AD=m，AE=n，則由同高的兩個三角形面積比等于底邊的比得BE= ，再由兩相似三角形高的比等于邊長的比得BF= ，所以CF=m- ，所以 = ，化簡得 = ，（a+1）（a-3）=12，解得a1=5，a2=-3（不合題意，舍去）. 所以S？荀ABCD=2（5+a）=20，S△DEF=20-5-3-4=8.

一般性結論1（解法3）

筆者順著第（1）小題的解題思路，試著把一些量用字母表示并進行推導，結果喜出望外，于是得到具有一般性的解法：

解 如圖2，過點F作FM⊥AB于點M，交DC延長線于點N. 設BE=a，AE=k1a，FM=h，FN=k2h. 則S△DEF=（1+k1）a（1+k2）h- k1（1+k2）ah- ah- （1+k1）a·k2h=（1+k1+k2+k1k2- k1- k1k2- - k2- k1k2）ah= （1+k1+k2）ah.

因為 k1（1+k2）ah=5， ah=3， k2（1+k1）ah=4，化為k1（1+k2）= ，k2（1+k1）= ，解得k1=1，k2= .

所以S△DEF=31+1+ =8.

有了這個解平行四邊形中此類面積問題的一般性公式，使此類問題不再是難題. 例如，若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為6、3、4，則有k1（1+k2）=2，k2（1+k1）= ，解得k1= ，k2= .那么S△DEF=31+ + = .

解法4

筆者再利用平行線間同底等高的三角形面積相等，同高的兩個三角形的面積比等于底邊比，得到解法如下：

解 如圖4，連結AC，AF，CE，AF與CE交于點G. 設S△EFG=x，S△CFG=y. 由等積變換知S△ACE=S△ADE=5，S△ACF=S△DCF=4，所以S△ACG=4-y，S△AEG=5-（4-y）=y+1. 由同高的兩三角形面積比等于底邊的比，得 = = ，所以 = . 設x+y=t，則（t+3）（t+1）=15，（t-2）（t+6）=0，因為t+6≠0，所以t-2=0，t=2. 所以S△ABC=2+3+5=10，S？荀ABCD=20，所以S△DEF=20-5-3-4=8.

在解法1、解法2和解法4中，都有明地或隱地得到E是AB的中點. 本題的難點是如何說明E是AB的中點. 能證明E是AB中點，其余就會迎刃而解，這也解答了解法1時的疑慮.

一般性結論2（解法5）

在找到解法4后，受一般性結論1的啟發，再試著把解法4中的一些量用字母表示并進行推導，又得到喜人的結果，出現了更一般的解法：

解 如圖4，設S△ADE=a，S△BEF=b，S△CDF=c，S△EFC=t，則S△AEF=t+a-c，S△BCE=t+b. 因為 = ，所以 = ，則（t+b）（t+a-c）=ab.

整理得t2+（a+b-c）t-bc=0，因為t為正數，所以t= . 因此得到解此類問題的公式S△DEF=2（a+t+b）-a-b-c= . 把已知代入即得S△DEF= =8.

當a=6，b=3，c=4時，S△DEF= = . 這驗證了兩種一般性解法是互通的.

對一些問題進行深入探究，可能會一無所獲，也可能有意想不到的收獲. 本例從解題疑惑引發筆者進行多種思路的探究，可謂收獲頗豐，更值一提的是推導出了解此類問題的公式S△DEF= （公式中的a，c可以互換）.