再制造產品保修決策模型構建與分析*

姚星辰，周 敏

(武漢科技大學 a. 冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b. 機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，武漢 430081)

0 引言

再制造業具有經濟效益好、資源消耗低、環境污染少的特點，發展再制造產品有利于形成新的經濟增長點，將成為“中國制造”的突破[1]。

隨著制造技術的發展，再制造產品的性能和質量都將不亞于原先的產品。但由于擔心質量問題，客戶對于再制造產品仍抱有懷疑態度，對再制造品長期工作能力存在顧慮，而良好的保修服務無疑會提高客戶滿意程度。同時，廢舊產品的回收數量和組件質量水平的不確定性會耗費再制造商更多的成本。因此，本文對再制造產品的保修決策模型進行了構建與分析。

在產品保修方面，國內研究主要集中在制造產品的保修策略上，對于再制造產品的研究較少。文獻[2]針對可靠性和區域差異的關聯性問題，提出了一種基于可靠性區域粒度的保修期優化決策模型。文獻[3]構建了一種考慮混合維修策略和使用環境的復雜系統的區間可用度模型。文獻[4]針對裝備更新保修策略費用難預測問題建立了考慮多故障模式的一維更新保修策略費用模型。文獻[5]基于可修系統冪律過程模型理論, 提出耗損階段數控機床不完全維修的非等周期預防維修方法。文獻[6]研究了基于使用率的汽車二維延保策略，以不完全維修和最小維修兩種方式確立了成本最優化模型。文獻[7]考慮了消費者的效用，提出了保修是再制造產品市場競爭有效策略。文獻[8]研究了傳感器嵌入式再制造產品的保修成本分攤策略和預防性維護策略。文獻[9]基于消費者行為的視角，用博弈論構建閉環供應鏈的最優決策模型，討論了新產品和再制造產品的最優保修決策。

從上述文獻可以看出，針對再制造品回收數量和質量不確定性的保修策略研究較少，因此，本文考慮一個獨立的再制造商，將回收產品拆分成零部件進行質量分級和再制造，并作為Stackelberg領導者主導價格和保修策略，建立受價格、保修方式和保修期影響的市場需求函數，分析了預防性維修下故障率呈威布爾分布的免費更換、免費維修、按比例免費維修的最佳保修期和最大利潤，為研究再制造產品的保修決策提供支持。

1 再制造產品保修決策分析

對再制造產品的保修決策模型進行構建時，要綜合考量廢舊產品回收質量、數量的不確定性，再制造產品可靠度，目標市場的需求、價格以及保修方式等因素，其模型構建與求解如圖1所示。

圖1 再制造產品保修決策模型構建與求解

1.1 廢舊產品回收不確定性分析

再制造商的回收成本取決于所回收產品的數量和質量，由于再制造零部件回收質量不確定性，將廢舊產品拆卸成各個零部件并進行檢測以確定質量級別，根據質量級別來確定收購價格并進行再制造決策[10]，將會極大地減小再制造的回收成本，影響再制造方案和保修策略。圖2為廢舊產品回收再制造和零部件質量分級流程。

圖2 廢舊產品回收再制造和零部件質量分級

保修方式和保修期的長短取決于再制造產品可靠性，而可靠性依靠于再制造零部件質量水平。因此，對于質量級別較低的零部件，可通過再制造技術將其提升，但不同級別的零部件加工到可用于再制造質量水平的費用不相同。

1.2 基于可靠性的故障率模型

可靠性是決定產品保修的重要方式，威布爾分布對于可靠性研究中的失效時間建模，其故障率函數為：

(1)

式中，β為形狀參數，α為尺度參數，表示特征壽命；t表示再制造零部件的服役時間。

1.3 考慮多種保修方式的保修策略

保修服務是廠商提供給客戶的能夠保證產品質量的服務手段，以保修服務作為再制造產品銷售策略有助于刺激再制造產品的需求，增加需求量。

通常根據保修服務的賠償方式可將其分為免費更換保修、免費維修保修、按比例免費維修保修。免費更換保修，即在保修期內生產者承擔產品更換的所有成本；免費維修保修，即生產者在保修期內承擔維修的所有成本；按比例免費維修，即在保修期內生產者和客戶按照一定比例承擔保修的一定費用。考慮這三種保修方式對再制造產品保修決策進行分析。

同時，為提高可靠性，減少保修成本，再制造商計劃對售出的產品進行預防性維修，可制定預防性維修的時間間隔或設定預防性維修的次數[11]。

1.4 市場需求和利潤分析

再制造產品的需求和產品的售價以及保修策略有關，消費者通常希望以較低的價格購買更為可靠的產品[12]。產品需求可表示為：

D=d-Cb1+Ahb2t

(2)

式中，D表示市場需求；C表示為再制造品售價；d表示市場基本需求；t為保修期限；b1、b2、Ah分別為基于價格、保修期限和保修方式的彈性系數。

該式可以較好的表明消費者對于再制造產品的購買欲望隨著產品保修期延長而增大。同時，良好的保修方法也能增加消費者的信心，從而提高需求。而價格對于需求呈負面影響，需求會隨價格上升而下降。

再制造商利潤Πφ和零售商利潤Πθ可寫為：

Πφ=ρD-Cp

(3)

Πθ=(C-ρ)D=(C-ρ)(d-Cb1+Ahb2t)

(4)

式中，ρ表示再制造商批發價；Cp再制造產品總成本，包含回收、再制造成本和保修成本等；

2 再制造產品保修決策模型

2.1 模型構建

首先對模型做如下假設：

①保修期內的每一次故障都會導致保修；

②保修和預防性維修時間忽略不計；

③拆分后的每個質量級別都可用來再制造，不考慮損壞或過低質量級別的零部件；

④預防性維護為完全預防性維護，即產品的可靠性恢復至出廠水準。

若某回收產品拆分后存在i(i=1,2……n)個部件，質量級別為K種，令回收和再制造的費用為C1，C2為再制造組裝成本，回收產品為m個，則：

Nik=mμik

(5)

(6)

C2=mR

(7)

式中，組裝費用為R；μij表示回收產品i部件拆解成質量級別為k的概率；qik為質量級別為k的部件i的回收價格；Nik為提升到可再制造質量水平的零部件的數量；gik為質量等級為k的零部件i的再制造費用。

售出的再制造成品采用預防性維修和三種保修方式進行組合保修，每隔時間t0返回再制造商進行一次預防性維修，再制造商也可以選定預防性維修的次數l。設每種保修方式的費用為vh(h=1,2,3)，分別表示為免費更換、免費維修、按比例免費維修的單次費用。預防性維修的費用為v0，給定再制造產品的故障率函數，在保修期內的預期故障索賠次數為E(t)，期望保修費用為Πs(t)，則：

(8)

(9)

再制造商盡可能在滿足客戶需求的情況下進行生產，即表明在最優的的保修策略下市場需求可能小于回收再制造的數量，將多余的再制造產品存入庫存，單位產品的庫存費用為C3。但在實際市場里，需求量也可能會大于再制造量。

綜上所述，考慮回收數量和質量分級的有關保修方式和保修期的再制造決策模型有如下表示：

m

(10)

m≥D時，

s.t.

D>0,β>1,h=1,2,3
1≤k≤K,1≤i≤n
d-ρb1>0

(11)

2.2 模型求解

博弈論是研究決策者行為產生直接相互作用時的決策和均衡問題。以再制造商作為Stackelberg領導者，由再制造商確定產品的保修方式、保修期和批發價格，零售商根據此來確定零售價格[12]。

對式(11)進行分析：

(12)

定理1：在分散決策中，以再制造商作為Stackelberg領導者，首先確定再制造產品的批發價和保修策略，零售商再確定產品的零售價。對零售商的利潤函數Πθ進行關于C的一階求導，令其為0，則最優零售價為:

C*=(d+Ahb2t+ρb1)/2b1

(13)

證明：對零售商的利潤函數關于其零售價格的一階和二階導數為：

定理證明完畢。

則最優零售價格如公式(13)所示。

將C*其帶入到Πφ中，對t求一階偏導，令其為0，聯立上式求解可得到保修期的函數，見公式(14)，將其帶入可得到再制造商的決策函數。

(14)

定理2：再制造商作為Stackelberg領導者中的目標函數中Πφ是關于保修時間的凹函數，且存在唯一最優解。

證明：目標函數Πφ關于保修時間的一階和二階導數為：

同理，可證明另外一種情況下函數關系。

通過上述模型，再制造商對該批產品保修策略進行決策。決策步驟為：①考慮產品零部件數量和質量級別，進行再制造回收決策；②對回收零部件進行處理、再制造和組裝；③再制造商作為Stackelberg領導者制定再制造產品保修策略，零售商確定零售價格；④計算在最大利潤情況下t、vh的取值，并確定最大利潤，作為保修方案。

3 案例分析

3.1 案例

為驗證上述模型，以某再制造商一批再制造發動機產品回收、再制造和制定保修計劃為例，計算最優的保修策略。

現該公司回收一批廢舊發動機，數量為200，根據該公司回收產品的數據資料和技術要求，將回收發動機進行拆卸，可拆卸為表1中9類(i)主要組件。主要回收部件分為3個質量級別的概率為μik，分別為高質量k1、中質量k2、低質量k3，各零部件在各個質量級別的數量Nik、回收價格qik以及再制造成本gik如表1所示。

表1 回收零部件各質量級別的概率、數量、回收價格和再制造成本

處理后的零部件進行再制造和組裝，單位成品的組裝費用R為200元，批發價為10 000元。在該時期，廠商對再制造發動機銷售，市場的基本需求為300，預防性維修次數為2，相關參數如表2所示。

表2 參數設置

采用MATLAB編程輔助上述模型求解。但針對該模型，需要對市場需求進行判斷，是否再制造品產量會大于市場需求，帶入各參數，計算最佳保修時間，以此確定三種保修方式的最優保修期和實際市場需求數量，然后進行驗算。三種保修方式的最佳保修期以及再制造商利潤如表3所示。

表3 最佳保修期和再制造商利潤

由表可知，按比例免費維修方式下保修期最長，達到1500天，這是由于按比例免費維修費用由再制造商和消費者共同承擔，因此再制造商可以指定較長的保修期來增加需求。免費更換方式下再制造商的利潤最低，為161.5千元，保修期為1069天，雖然保修方式下的彈性系數較大，但較低的保修期導致客戶需求提升不明顯。綜上3種情況，再制造商作為主導地位，零售價格偏高，導致客戶需求量較少，在該批量再制造中，需求量無法消化庫存，再制造商的利潤可以更大化。

3.2 敏感度分析

通過敏感性分析進一步研究這三種保修方式下的最優保修期和再制造商利潤，對不同保修方式的單次保修成本vh和其對市場需求的彈性系數Ah作為變量。

由圖3、圖4可以看出當Ah增加時，最大保修期增加但不明顯，而保修利潤先增后趨于穩定，這是由于Ah增加導致市場需求增加，當市場需求等于再制造量時，利潤達到最大化；而市場需求大于再制造量時，再制造商無法供應市場，利潤就隨保修期的增加略有下降。

圖3 保修期隨保修對市場需求彈性系數Ah的變化趨勢

圖4 利潤隨保修對市場需求彈性系數Ah的變化趨勢

由圖5、圖6可以看出當保修費用vh增加時，最大保修期減少，而保修費用增長對于利潤的影響程度較大，因此再制造商利潤下降。同時，不同保修方式的差別在于和需求相關的彈性系數不同，因此保修期差別不明顯。但消費者需求量的下降會增加再制造庫存量，利潤也無法最大化。

圖5 保修期隨不同保修費用vh的變化趨勢

圖6 利潤隨不同保修費用vh的變化趨勢

再制造產品數量的不確定性和保修策略影響著再制造商的利潤，當庫存大于市場需求數量時，制定合適的保修策略以增加客戶信心和市場需求來減少保修成本對于再制造商尤其重要。但當保修期足夠長時，市場需求會變得非常大，再制造商的產量無法滿足市場需求，利潤就會下降。當庫存無法滿足需求時，企業制定長的保修期就得不償失，利潤會急劇減小。而不同保修方式下的利潤和最大保修期也不相同，再制造商應該根據市場需求合理的制定不同保修方式下再制造品的保修策略。

4 總結

本文針對再制造品產品回收不確定和市場對于再制造品質量功能信心不足的問題，研究了以再制造商為Stackelberg領導者的考慮零部件質量分級的保修策略。通過對由價格、保修方式和保修期決定的市場需求函數構建，分析了預防性維護下故障率呈威布爾分布的免費更換、免費維修、按比例免費維修的最佳保修期和最大利潤。針對該方案，以某再制造商一批再制造發動機回收、再制造和制定保修策略為例，驗證了該模型的有效性。另外通過靈敏度分析，研究了保修方式的費用和對其需求的彈性系數的變化對于保修策略和利潤的影響。

由于該模型只考慮了單個再制造商的決策，在未來的研究中，可以考慮制造/再制造混合系統研究廢舊產品回收和保修策略。