優化數學活動　培養空間觀念

徐偉　顧建芳

摘要：抽象、想象和描述是學生空間觀念發展“序”的體現。教學中發展學生的空間觀念，需要教師優化數學教學活動，致力于培養學生抽象能力、想象能力和描述能力。教師要善用觀察比較發展抽象能力，重視實踐操作培養想象能力，突出聯想表達提高描述能力。只有這樣，才能讓學生在教學活動中積累豐富的表象，獲得可貴的數學經驗，逐步形成良好的空間觀念。

關鍵詞：空間觀念;數學活動;抽象;想象;描述

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）02B-0052-05

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“空間觀念是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言的描述畫出圖形等。”[1]6從課程標準這段關于“空間觀念”的描述中，我們可以看出抽象是想象的基礎，想象是描述的前提，而描述又能進一步促進抽象的具體化和想象的合理性，抽象、想象和描述是學生空間觀念發展“序”的體現。發展學生的空間觀念，需要教師優化數學教學活動，致力于培養學生以上三個方面的能力。

一、善用觀察比較，發展抽象能力

小學生對數學知識的習得，特別是抽象數學概念的構建，需要經歷“圖形認知（表象水平）—符號認知（分析水平）”的發展過程。認知心理學研究表明，在幫助學生建立有關幾何形體的空間觀念時，表象的獲得十分重要。觀察比較是把不同的事物或不同條件下的同一事物聯系起來進行觀察，從比較中發現其差異，以捕捉住它們各自的特征。學生通過觀察比較，利用直觀經驗綜合分析后可以抽象出事物的數學特征，進而發現數學規律。

（一）在觀察比較中認識特征

觀察比較是我們認識幾何圖形的時候最常用的方法，也是我們教師經常會設置的教學環節。通過呈現情境或是問題，學生通過觀察比較，將具體的生活化問題抽象為數學問題，再通過綜合分析數學對象的不同點和相同點，認識數學對象的特征。

比如在“認識三角形”一課的教學中，“什么是三角形？”就是一個抽象的概念。首先教師引導學生比較這些三角形，找一找它們的不同點和相同點。從不同點方面來看，形狀不同、大小不同……顯然這些并不是三角形的本質特征;而從相同點方面來看，3個角、3條邊、由線段圍成……三角形的概念就自然而然在學生心中形成了。有些復雜的概念，涉及的本質特征比較多、隱藏得比較深，我們就要通過多次比較，抽絲剝繭，一層一層比較，通過比較發現本質屬性。比如“認識三角形的高”，要測量三角形的高，學生憑借生活經驗可能會去量中間的線段，但這條線段究竟有什么本質特征，就要引導學生再深入比較這條線段和其他線段的不同點，層層遞進，逐漸揭示“三角形高”的本質。

這個過程從觀察、比較，接近本質到抽象、概括，自由表征，是我們最常用的認識圖形特征的一種教學方法。

（二）在觀察比較中發現規律

觀察比較，能夠認識事物的特征，但是認識本質之后，我們還要引導學生抽象概括、自由表征和發現規律。通過反復的觀察和比較，可以促進學生進行抽象概括，再通過表征將抽象概括的特征內化為學生所掌握的知識，從而發現隱藏在表征之中的內在規律。

比如在“認識三角形”一課的教學中，學生已經通過觀察和比較感悟三角形的概念，接下來老師提出這樣的問題：你能不能用一句話來說一說什么是三角形？你能不能根據你對三角形的認識和理解，來畫一個三角形？這樣就通過語言表征和圖像表征，進一步將三角形的概念抽象為我們的數學語言，從而讓學生更深層次地“認識三角形”。

在“釘子板上的多邊形”一課的教學中，教師往往會忽略如何引導學生觀察比較，忽略規律的探究過程。釘子板邊上8枚釘子、中間1枚釘子，面積是4平方米;邊上10枚釘子、中間1枚釘子，面積是5平方米;邊上10枚釘子、中間2枚，面積是6平方米……把這組數據放在一起觀察、比較，學生就能從中抽象出“格點多邊形”的面積公式，即面積S=m+n÷2-1（其中，m是內格點數量，n是外格點數量）。

上述的觀察比較，是發展學生“數據分析觀念”的重要手段，引導學生進行有效的觀察和比較，才能為后面的數據整理分析打下基礎，從而順利發現規律。

（三）在觀察比較中建立數學經驗

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“要讓學生通過義務教育階段的數學學習，獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。”[1]8數學基本活動經驗的建立要有個過程，這個過程就是“收集數據、整理數據、分析數據、發現規律、表征規律”。這個過程環環相扣，每個環節幾乎都需要學生進行觀察和比較。

比如在“長方形的長、寬的變化引起面積的變化的規律”一課的教學中，學生首先要收集長方形長、寬、面積的相關數據，再將數據整理到統計表中。在這“收集”和“整理”的過程中，實際上學生已經在觀察和比較了，如：需要收集哪些數據？（原始數據和變化后的數據）需要怎樣整理數據？（按照原始和變化后分類整理）接著，學生要對整理好的數據進行分析和探究，這兩個環節包含了兩個層次的觀察和比較：一是學生作為獨立的個體，自己比較剛才整理的原始數據和變化后的數據;二是學生作為班級的一員和其他同學比較探究結果，從而發現內在規律。最后，學生需要表征發現的結論，可以是語言，也可以是符號……這樣就將結論進一步抽象為數學概念。在這個環節，學生又通過觀察和比較，不斷完善自己的認識，掌握規律。

綜上，觀察比較能夠讓學生更好地建立數學基本活動經驗，使得學生對知識的獲取都能有源可溯。學生具備了觀察比較的意識后，在抽象概括數學問題時，會顯得更加自然和精準。

觀察比較能力的培養，筆者認為需要關注以下兩個方面：一是要引導學生深入觀察。觀察細致，是學生觀察能力的一個重要表現。學生在觀察中，不僅要觀察顯性的現象，還要觀察事物之間隱性的現象。二是要引導學生有序觀察。有序觀察是學生觀察能力的一個核心素養，有序觀察能夠更好地辨析事物的本質，便于發現規律。

二、重視實踐操作，培養想象能力

空間想象能力是人們對客觀事物的空間形式（空間幾何形體）進行觀察、分析、認知的抽象思維能力。讓學生經歷“動作認知（操作水平）—符號認知（分析水平）”的發展過程，能夠有效培養學生的想象能力。教師應當重視引導學生通過操作活動獲取感性的經驗，不能忽略了讓學生親身經歷把操作經驗內化為數學經驗的過程。只有重視實踐操作，才能讓數學抽象思維活動具備豐富的數學表象經驗，讓數學思維活動能夠源源不斷地發生下去。

（一）在實踐操作中獲得想象空間

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。不是每一個實踐操作都能夠用語言來取代的，恰如其分的操作能夠在學生頭腦中留下深刻的印象，這就是實踐操作給學生帶來的想象空間。學生大腦在對操作表象進行再加工后，才能想象出很多抽象的數學活動，從而掌握相關的數學知識。

比如在釘子板上學習“多邊形”的相關知識時，為什么不能研究“圓”？教師當然知道“圓是由曲線圍成的圖形”，但是并不是每一個學生都能深刻理解這句話的。而學生在釘子板上一操作，馬上就會發現任意兩枚釘子之間形成的必定是線段，所以在釘子板上不能圍成“圓”。另外，通過這樣的操作，學生對“圓是由曲線圍成的圖形”這句話理解得也更加深刻了。

再比如在研究“三角形三邊關系”時，教師同樣應當設置實踐操作環節，學生在操作以后，會在頭腦中留下深刻的印象。學生在操作中會發現三角形的兩條邊不斷往下旋轉，如果能“碰頭”，就能夠形成三角形;如果往下旋轉，這兩條線段太短，就不能“碰頭”，這樣就不能夠形成三角形;如果往下旋轉，這兩條線段剛好“合起來”能夠跟第三條長邊重合，這樣也不能形成三角形。這個表象很重要，而且這個表象會為后面的邏輯推理打下基礎。

綜上，每一次實踐操作都能為學生帶來想象的契機，操作表象經過學生想象的再加工，就能形成豐富的數學經驗，構建更加緊密的數學邏輯。

（二）在實踐操作中提升想象能力

實踐操作能夠為學生帶來想象的空間，想象的過程也能提高實踐操作的實效性。科學合理的實踐操作能夠積極地提升學生的想象能力，為數學經驗的積累打下扎實的基礎。數學基本活動經驗在小學數學教學中作為“四基”之一，重要性顯而易見。筆者認為課堂上的數學經驗主要分為兩種：一是短時經驗，二是長時經驗。

所謂短時經驗，是指上半堂課剛剛積累的方法、經驗，下半節課就可以用了。這樣的數學經驗，主要是老師為了讓學生能夠更好地掌握相關知識，在設計教學過程時有意為之。比如在教學“長方形和正方形的認識”一課時，先研究“長方形的特征”，通過數一數、比一比、量一量、折一折等方法，經歷猜想→驗證→結論，歸納出長方形的特征。而在研究“正方形的特征”時，教師就需要引導學生利用剛才掌握的數學經驗獨立開展探究活動。

所謂長時經驗，是指已經內化為學生認識的數學經驗。這些經驗是之前學生掌握的數學知識，在學習新知識的時候，就有可能成為能夠幫助學生“正遷移”的數學活動經驗。比如在學習“三角形面積”的時候，前一階段學習“長、正方形的面積”“平行四邊形的面積”時積累的經驗——“未知→已知”的轉化，就能夠拿出來用了。

綜上，實踐操作是積累數學活動經驗的過程，這個過程中，學生的想象自始至終都在不斷地發生。實踐操作不僅能夠幫助學生積累豐富的數學經驗，而且能夠進一步提升學生的想象能力，因此教師在一線教學中務必要重視“實踐操作”這一積累數學活動經驗的重要手段。

（三）在實踐操作中形成想象慣性

小學階段，無論是概念課，還是練習課，教師均可以在課堂教學中設置合理的“實踐操作”環節，建立“操作—想象”的思考模式，并將這一模式扎根到每一位學生的思維習慣中去。

比如說，學生在低學段認識整數的時候，就經常性地“擺小棒”“分卡片”……我們在中高學段教學“認識分數”“認識小數”“認識百分數”這些內容時，面對這些抽象的“概念課”，不妨還是借助一些直觀圖，讓學生動手分一分、畫一畫……相信學生在長期的“操作—想象”模式下，“數形結合”考慮問題的思維習慣一定有所形成。

再比如說，我們在教學“長、正方形的認識”“長、正方體的認識”“圓柱、圓錐的認識”這些內容時，不妨經常性地借助一些學具讓學生摸一摸、擺一擺、拼一拼，通過這樣長期的實踐操作，學生頭腦中會習慣性地形成“想象”的概念，為圖形特征的探究提供了豐富的素材。

筆者認為，只要我們重視實踐操作，學生在頭腦中積累的表象經驗和數學活動經驗就一定會越來越豐富，學生的想象習慣也一定能在日積月累中逐漸形成。

三、突出聯想表達，提高描述能力

觀察比較、實踐操作是培養學生空間觀念的基礎手段，對于抽象的數學概念，直觀形象畢竟只能為兒童提供理解的起點，而聯想表達則有助于學生更快地擺脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過渡。因此，描述作為數學概念建立的有效手段之一，在課堂教學中，突出聯想表達，能夠更有效地培養學生的空間觀念。那么，我們應當怎樣引導學生高效地描述“數學”呢？筆者認為在小學數學“圖形與幾何”以下四個部分的教學中，通過突出聯想表達的要求，都能夠培養學生的描述能力。

（一）在位置變換中突出聯想表達

課堂教學中，教師要利用契機引導學生進行聯想表達。在“位置變換”這類課的教學中，教師可以通過“畫圖”的方式，將觀察到的、想象到的內容以“圖”的形式抽象在紙上，再通過“看圖”聯想觀察到的實物模型，通過交流表達自己的思考。在這個過程中，教師要幫助學生建立“實物—圖像—聯想”的認知模式，提升學生的描述能力。

比如在教學“觀察物體”一課時，教師呈現觀察對象的實物模型，引導學生將某一位置的學生看到的物體用畫圖的方式呈現出來，這是“實物—圖像”的描述;而坐在其他位置上的同學，需要想象指定學生的“視角”，畫出相應的圖像，這是“圖像—聯想”的描述，最后讓第一位學生來判斷同學們聯想的圖像與自己所看到的實物是否一致。

上述教學中的“位置變化”就是一種空間想象，教師在實際教學中可以借助多媒體，但是多媒體不能替代學生的自主聯想，尤其不能代替學生在聯想基礎上的這層“描述”，這一點對培養空間想象力尤為重要。

（二）在圖形變化中突出聯想表達

觀察是對事物特征的認識，比較能夠對初步認識的實物特征進行分類討論，從而接近本質。聯想不同于觀察和比較，但是聯想是建立在觀察比較的基礎上的，需要對現有事物進行分析，聯想出圖形或事物并未顯性出來，卻真實存在的延伸部分。

比如“點、線、面、體”的教學，小學數學教材從低學段到高學段極為有序地呈現了上述內容。但是怎樣建立“點、線、面、體”之間的聯系呢？學習直線時，學生認識到“直的、無限長、沒有端點”，但是很少有老師會介紹“直線是由無數個點構成的”;關于“圓的認識”，小學教材里甚至沒有給它一個定義，只是讓學生充分認識了“圓的特征”……一方面受限于課堂時間段，沒有充分的時間展開;另一方面也是我們不夠重視圖形變化中的聯想。現在，已經有很多教師關注到這一問題，在“點、線、面、體”的教學中，都開始讓學生體會到“累積”“極限”的思想，特別是一些多媒體技術（電子白板、幾何畫板等）的運用，已經讓學生展開想象的翅膀，非常好地勾連了“點、線、面、體”之間的聯系。

在教師的引領下，樂于在學習中展開聯想，提出問題，分析問題，解決問題，最后獲得較好的知識延伸，因此在圖形變化中確實能夠培養學生形成較好的空間觀念。

（三）在空間轉換中突出聯想表達

學生思維的發展是有序的，從一維、二維到三維，從簡單到復雜，對學生聯想能力的要求也變得越來越高。特別是小學高學段二維平面圖形與三維立體圖形之間的轉換，要求學生必須具備一定的描述能力。

比如說在教學“長方體和正方體的展開圖”一課時，教師必須要為學生的“描述”做好鋪墊。筆者認為首先讓學生“剪一個長方體（正方體）的展開圖”是非常有必要的，這也是前面所提到的“實踐操作積累數學活動經驗”的要求。有了這樣一次操作體驗，學生能夠建構一個“三維”到“二維”的空間轉換的通道。隨后，在分析探討“正方體展開圖”的時候，學生才能順利地展開聯想，將想到的展開圖“繪制成圖”，再進行驗證，從而完善自己的認識，提高自己的空間想象能力。

上面舉的例子，以操作為基礎，但不局限于操作;以聯想為延伸，但不僅僅是空想。在數學活動經驗的基礎上展開聯想表達，對于學生描述的合理性和準確性有著非常重要的作用，學生空間觀念的形成也就水到渠成。

（四）在媒體演示中突出聯想表達

當下是信息技術的時代，因此多媒體技術運用于課堂是非常重要的，能夠有效地提高我們的教學效率和效果。但是多媒體呈現圖形或者圖形的變化過程，僅僅是輔助，相當于建筑設計師呈現的“效果圖”，可以引導我們學生的聯想表達，但是不能主導學生的思想。

比如在教學“認識垂直”一課時，要解決“垂直線段最短”這個問題，教師做了一個動態的課件幫助學生理解數學知識。這個動態的課件，能夠把原本難以描述的內容清晰地演示出來，幫助學生突破學習中的難點。但是，筆者在這里主張，我們的課件最好多一些“半成品”，給學生留下一些聯想的空間。教師在運用媒體演示引導學生聯想的時候需要處理好一個“度”的問題，既給學生提供聯想表達的資源，亦要給學生留下聯想表達的空間。教師只要鼓勵學生順著“聯想”進行表達，將數學思考以語言、圖像或者符號的形式表達出來，那么我們的數學課堂就能在激烈的思維碰撞中獲得升華。

空間觀念作為數學核心素養之一在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確地被提出，足以說明學生空間觀念的培養是小學數學教學中重要的一個方面，也是學生應具備的一種基本數學素質。在數學活動中，我們要充分研究學情，不論在圖形的認識，還是在圖形的運動、圖形的位置、圖形的度量教學中，都應當利用好觀察比較、操作實踐和聯想表達，讓學生的空間觀念得到有序的發展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

責任編輯：石萍

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點自籌課題“小學數學教學中‘序的構建研究”（C-b/2020/02/36）的階段性成果，作者為課題主持人。

收稿日期：2020-12-28

作者簡介：徐偉，昆山市教師發展中心（江蘇昆山，215300）小學數學教研員，研究方向為小學數學教育、教育管理;顧建芳，昆山市教師發展中心（江蘇昆山，215300）副主任，研究方向為小學數學教育、教育管理。