中學概率與統計內容的變化歷程及啟示

邢田宇 孫小軍

摘? ?要

中華人民共和國建立以來，我國中學數學教學大綱（課程標準）不斷地修訂和完善，不同時期的教學大綱（課程標準）反映了不同政治、經濟、文化等背景下中學數學課程的發展變化。通過對中華人民共和國建立以來一些有代表性的教學大綱（課程標準）等相關資料中概率與統計內容的梳理，探尋了中學數學課程中概率與統計內容的變化歷程，并為《義務教育數學課程標準》修訂工作提出了一些建議，同時以期能為一線教師有效開展基于核心素養的概率與統計教學提供參考。

關鍵詞

概率與統計? 教學大綱? 課程標準? 數據分析素養

大數據時代下的信息風暴正在變革著我們的生活、工作和思維，通過對龐大數據的處理與分析獲取有用信息已成為現代公民應具備的基本素養，而概率與統計內容作為數據分析的載體，直接影響著人們數據分析觀念的形成?！读x務教育數學課程標準（2011版）》強調“應用概率與統計知識、培養數據分析觀念”，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中將數據分析作為六個學科核心素養之一，這反映出概率與統計內容在中學數學課程中的地位逐步提高，社會對人們數據分析能力的要求也越來越高。概率與統計內容從“卑微”的出身到今天的重要地位并不是一蹴而就的，而是在經歷了初步發展、“三起三落”[1]以及現代發展后才得以確立。隨著大數據時代的到來，完善和發展概率與統計內容已成為時代發展和課程發展的新要求。文章依據15個版本的中學數學教學大綱（課程標準）及相關歷史資料[2]，包括“50大綱”（《數學精簡綱要（草案）》）、“52大綱”（《中學數學教學大綱（草案）》）、“60大綱”（《十年制學校數學教材的編輯方案（草稿）》）、“63大綱”（《全日制中學數學教學大綱（草案）》）、“78大綱”（《全日制十年制學校中學數學教學大綱（試行草案）》）、“82大綱”（《全日制六年制重點中學數學教學大綱》）、“83大綱”（《高中數學教學綱要（草案）》）、“86大綱”（《全日制中學數學教學大綱》）、“88大綱”（《九年制義務教育全日制初級中學數學教學大綱（初審稿）》）、“92大綱”（《九年制義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用）》）、“96大綱”（《全日制普通高級中學數學教學大綱（供試驗用）》）、“01標準”（《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》）、“03標準”（《普通高中數學課程標準（實驗）》）、“11標準”（《義務教育數學課程標準（2011年版）》）、“17標準20修訂”（《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》），運用歷史研究法和內容分析法，探尋中學數學課程中概率與統計內容的變化歷程，并為正在進行的《義務教育數學課程標準》修訂工作提出了一些建議，同時為一線教師有效開展基于核心素養的概率與統計教學提供參考。

一、中學數學課程中概率與統計內容的變化歷程

1.初步發展（1949-1959年）

1949年11月教育部提出了“吸收舊教育有用經驗，建設新民主主義教育”的教育改革方針[3]，但當時教育體系還未完善，存在教材種類繁多、內容編排不合理、學生學業負擔重等問題。為此，教育部于1950年7月頒發了“50大綱”，據此編寫的“精簡本”中概率與統計內容和建國前基本一致，要求學生在初中階段學習統計表與統計圖，在高中階段學習或然率。同時“50大綱”對舊用教本精簡意見中指出：或然率需少講，統計一章的選題應換成更適合之材料如最近中國經濟建設之材料，蘇聯經濟發展等材料[4]。可以看出，由于建國之初貫徹“教育工作必須為國家建設服務，學校必須為工農開門”的方針[5]，而概率與統計內容在這一時期的工農生產中應用較少，所以當時雖對概率與統計內容有所保留，但學習內容少、重視程度低。

1952年，我國進入全面學習蘇聯時期，提出“學習蘇聯的先進經驗，先照搬過來，然后再中國化”[6]的方針，將蘇聯十年制學校所學知識安排到我國十二年制學校中學習，導致中學數學課程內容減少、難度偏低。“52大綱”取消了高中階段與概率相關的內容，只在初中一年級保留了簡單統計圖表。1954年第一次修訂該大綱，概率與統計的內容沒有變化。1956年3月，教育部對“52大綱”進行了第二次修訂，在初中一年級增加了繪制圖表，同時對簡單統計圖表的類型進行了描述，但高中數學課程中依舊沒有概率內容。這一時期強調用數學知識解決農業、軍事等領域中的實際問題，統計圖表在生產生活中有一定的實用價值，所以在初中階段得到了一定重視，而這一時期對概率內容的實用功能關注較低，且受全面學習蘇聯的影響，概率內容在高中階段未能順利開展。

概率與統計內容的初步發展過程反映出：1949-1959年概率與統計內容發展緩慢，這一時期中學數學課程關注社會發展占主導。

2.第一次興衰（1960-1977年）

1958年，針對全面學習蘇聯時期出現的問題，我國制定了中學數學教育改革方案，主張數學教育現代化。1960年北京師范大學數學系編寫的《九年一貫制試用課本》中已有概率與統計[7]。同年華東師范大學數學系也編寫了一套《五年制中學數學試用本》[8]，概率與統計是其中之一，但這兩套教材中概率與統計的許多內容都涉及到大學高年級的知識，且只在部分地區進行試用。與此同時，教育部起草了“60大綱”，該大綱要求五年級下學期學習簡單的統計圖表。這一時期主張數學教育現代化，概率與統計作為現代化內容在實際教學中受到了重視，雖然編寫的兩套教材未能在全國推廣，但數學教育工作者已經意識到它在數學學科的重要性，這為之后中學數學課程中概率與統計內容的發展奠定了基礎。

1960年開始的“教育大革命”，過于追求教育內容現代化，導致與學生的認知發展相脫離。為改變這種現狀，在“調整、鞏固、充實、提高”八字方針[9]的指導下教育部頒布了“63大綱”，該大綱刪除了“52大綱”的統計知識，高中階段增加了一些概率初步知識，但在教學內容的安排中又指出：對于概率這類學生比較難于掌握的知識，應放在較后講授[10]。這一階段課本中雖有概率與統計內容，但并未開展實際教學，特別是從試驗數學教材中均涉及概率與統計到取消統計內容不難看出：中學數學課程中概率與統計內容逐漸走向了衰落。

從概率與統計內容的第一次興衰可以看出：這個階段數學教育工作者已經意識到這一內容的學科價值，但未能有效地落實到實際教學中。這一階段中學數學課程雖然開始關注學科發展，但對社會發展的關注仍占主導。

3.第二次興衰（1978-1987年）

1966-1976年，我國沒有統一的教學大綱和教材，數學教育發展受阻，“文化大革命”結束后，全國進入全面整頓時期。1978年教育部頒布了“78大綱”，根據“精簡、增加、滲透”六字方針[11]，該大綱明確提出：增加概率統計的初步知識，這是首次規定在初中三年級要學習統計初步知識，關于統計初步的教學內容也明顯增多（包括總體和樣本、頻率分布、樣本均值、樣本方差和樣本標準差）。同時高中概率的教學內容有所增多，教學要求也進一步提高。1980年對“78大綱”進行了修訂，初中統計內容增加方差的簡化計算和累計頻率分布作為選學內容;高中概率部分增加了課時?！?2大綱”將初中統計初步內容中方差的簡化計算和累計頻率分布由原來的選學改為必學，并增加了頻數分布和累積頻數分布，課時也有所增加。該大綱在教學內容的確定中指出：學生的志趣、畢業后對數學的需要不同，教學內容應當有一定的靈活性，從而將高中數學教學內容分為三種類型，概率與統計內容相應也被分成了三種類型。這一時期概率與統計內容在中學數學課程中不斷調整，人們逐漸認識到它在中學數學課程中存在的必要性，并試圖去探尋最適合中學生學習的概率與統計內容。

1983年，教育部針對文革導致的師資水平、學生文化程度和學校條件懸殊過大等情況，制定了“83大綱”。該大綱按“基本要求”和“較高要求”將教學內容分為兩類，概率在較高要求中作為必學內容，但在基本要求中只作為選學內容，由于當時高考只按照基本要求命題，選學內容并未講授，因此概率內容在這一階段基本是形同虛設。國家教委頒布的“86大綱”是一個過渡性大綱，第一次在教學內容下增加了具體要求，在概率與統計的教學內容方面，將初中統計部分的累積頻率分布由必學改為選學，高中的概率內容由之前的選學和必學相結合全部改為選學，而選學內容不作為畢業和升學考試的要求。這一時期統計初步在初中階段一直是必學內容，但概率內容實際上已經退出了高中教育舞臺，這標志著概率內容又一次走向低谷。

從概率與統計內容的第二次興衰能夠看到：這一時期為響應數學教育現代化，數學教育工作者在試圖探尋最適合中學生學習的概率與統計內容，但由于畢業和升學考試并未涉及概率內容導致概率內容在高中階段名存實亡。中學數學課程在關注社會發展的同時開始關注學生發展。

4.第三次興衰（1988-2000年）

“88大綱”在教學要求中首次提出，會用統計初步知識解決一些簡單的實際問題，并開始注意到統計知識的應用功能。此外，還增加了使學生了解統計思想的教學要求，這表明不再只是將統計初步作為一種基本知識學習，而是注意到了統計知識背后所蘊含的隨機性思想?！?2大綱”在教學內容中增加了實習作業，要求通過實習作業使學生初步掌握搜集、整理和分析數據的方法，培養學生解決實際問題的能力;在具體要求中將會用科學計算器求樣本平均數與標準差作為選學內容，雖然未列入畢業考試和升學考試的命題范圍，但也說明這一時期已經開始認識到信息時代計算機對統計教學的幫助，統計教學要求的不斷提高也體現出當今社會對統計教學的重視。2000年對“92大綱”進行了修訂，在教學內容的確定與安排中提到：畢業班級可以根據各地的需要，選學一些適當加寬加深的內容（例如概率初步知識）[12]，這是第一次在初中階段開始考慮增加概率內容，雖然在實際教學中可能并未涉及，但在一定程度上反映出當時已經開始注意到概率與統計知識在初中階段應有所滲透。這一時期，概率與統計內容的地位明顯提升，數學教育工作者開始關注統計知識的應用功能和統計思想，它在中學數學課程中進一步被重視。

為了與只涉及義務教育部分的“88大綱”和“92大綱”相銜接[13]，國家教委頒布了“96大綱”，首次在高中增加了統計知識，但由于在教材編寫過程中遇到了許多難題，導致概率與統計內容未能按照預期的設想進行編寫?！?6大綱”雖將概率與統計初步知識闡述為從事社會主義現代化建設和進一步學習所必需的知識，并且把處理數據（包括使用計算器）作為基本技能，但在實際教學中大部分教師還不能熟練使用計算器處理數據，致使學生對概率與統計內容的學習也未能達到預期效果。20世紀末，雖然概率與統計在大綱的內容設置上呈現出增加的趨勢，但實際教學中仍然存在“教材難編、教師難教、學生難學、試題難出”的問題[14]，學生在現實生活中遇到隨機性問題時仍然不會用所學的概率與統計知識解決，未能達到預期的教與學的效果，概率與統計的教學再一次退入低潮。

從概率與統計內容的第三次興衰能夠發現：這一階段數學教育工作者注意到了統計的應用功能及其蘊含的思想，但在實際教學中還存在著“四難”等問題。中學數學課程在關注社會發展和學科發展的同時，更加注重關注學生發展。

5.現代發展（2001年至今）

2000年我國開啟了新一輪基礎教育課程改革，概率與統計內容在初中和高中都受到了前所未有的重視?！?1標準”將初中課程內容分為四個板塊，統計與概率作為一個單獨的板塊出現。在統計與概率的總體目標中要求：經歷提出問題、收集和處理數據、作出決策和預測的過程，經歷運用數據描述信息、作出推斷的過程、發展統計觀念[15]?？梢钥闯觯凇?2大綱”重視統計應用功能的基礎上，“01標準”開始注意到教學中要使學生經歷學習的過程，這與新課程改革背景下關注學生發展的要求一致，并首次提出要發展統計觀念。同時更注重培養學生掌握知識體系，為以后解決實際問題打下基礎，基于這一理念，統計內容受到進一步重視?！?1標準”首次將概率放到初中來學習，并在教學要求中提到：應注重使學生在具體情境中體會概率的意義，加強統計與概率之間的聯系，避免將統計與概率內容的學習變成數字運算的練習[16]。雖然是第一次將概率作為初中課程內容，但未降低概率的教學要求，且注重初、高中概率與統計內容的銜接?！?1標準”中概率與統計內容的這些變化都在為培養高素質人才和促進數學學科發展奠定基礎，概率與統計教學在初中階段開始穩定發展。

2001年頒布的《基礎教育課程改革綱要（試行）》中指出：我國基礎教育總體水平還不高，原有的基礎教育課程已不能完全適應時代發展的需要[17]。面對時代發展帶來的基礎教育課程改革挑戰，教育部頒布了“03標準”，將高中數學課程分為必修和選修課程，這兩類課程均含概率與統計內容，這說明概率與統計是時代發展下高素質人才應具備的知識。與“96大綱”必修課程中只有概率內容不同，“03標準”在必修課程中既有概率又有統計，因此無論是文科生還是理科生都要學習這兩部分內容，這表明概率與統計在教學中的地位有所提高。此外“03標準”對信息化社會中概率與統計的重要意義做了闡述，將概率與統計的基礎知識作為一個未來公民的必備常識[18]，至此不僅概率與統計的社會價值受到了重視，其育人價值也被關注，概率與統計的發展達到一個新的高度。

經歷了多年的探索與實踐，我國構建了體現新時代素質教育理念的基礎課程體系[19]，但仍有一些需要完善的地方，為此教育部在2005年開始組織對“01標準”進行修訂，于2011年底頒布了“11標準”，其中對統計與概率做了一些調整，取消了極差的計算和畫頻數折線圖，增加了中位數、眾數的計算和平均數的意義。隨著時代發展和信息量的增加，對數據進行分析成為各行各業中的常態工作，“11標準”中將統計觀念改為數據分析觀念，并指出數據分析是統計的核心，強調在教學中要發展建立數據分析觀念[20]。這表明，概率與統計的教學不再局限于簡單的計算應用，而開始注重學生統計思維的培養，并引導學生在現實生活中發現隨機問題、感受隨機現象，能夠用所學的概率與統計思想、方法去解決一些問題，這對于培養創新型人才具有重要意義。這一時期概率與統計的教學也達到了更高的層次。

“17標準20修訂”中將高中數學課程分為必修、選擇性必修和選修課程，并用四條主線貫穿三種課程類型，概率與統計是其中的一條主線。與“03標準”的最大不同在于，“17標準”基于我國國情，充分發揮數學學科的獨特育人優勢，凝練出六大數學核心素養，與數據分析素養對應的就是概率與統計內容，這使得概率與統計教學對培養學生數據分析素養具有更加重要的意義。概率與統計教學提示中指出：教學活動要通過具體實例和典型案例進行，可以鼓勵學生盡可能運用計算機進行模擬活動、處理數據，更好的體會概率的意義和統計思想[21]，這與大數據時代下學生的發展要求相吻合。“17標準20修訂”供學生依據個人志趣自主選擇的5類選修課程中，都涉及概率與統計內容，且大學數學先修課程中也包括這一內容。不難看出，概率與統計內容在高中階段受到了空前的重視，尤其在數據分析素養提出后，它在我國中學數學課程體系中占據了重要位置，這既是社會發展的必然，也是學科發展的趨勢，更是學生自身發展的需要。

概率與統計內容的現代發展過程反映出：2000年以后概率與統計內容受到明顯重視，其地位逐漸提升，開始穩定發展。中學數學課程趨向于關注社會發展、學科發展、學生發展的相互平衡。

二、對“標準”修訂和中學數學教學的啟示

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》已經頒布，為了使中學數學課程更好地服務于社會發展、學科發展和學生發展，并實現對三者的“最佳平衡”，同時避免出現知識上的銜接不暢等問題，《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“標準”）的修訂工作于2019年1月4日啟動?；谝陨瞎ぷ?，以期為“標準”修訂時相關內容的編寫和基于核心素養的教學提供參考。

1.整合十大核心概念，明確數據分析素養

“17標準20修訂”中將數據分析素養作為六大數學核心素養之一，符合大數據時代下對人才培養的需要，義務教育階段的數學課程也應該充分發揮其育人功能，明確數據分析素養?！?1標準”中提出了10個核心概念，雖然有專家指出，把這些詞稱為“概念”并不確切，很難清晰表達其內涵[22]，但這10個核心概念可以看作義務教育階段數學學科核心素養的前身，修訂時“標準”可以考慮將10個核心概念重新整合，凝練出適合義務教育階段的數學學科核心素養。筆者認為可將“數據分析觀念”與“應用意識”這兩個核心概念整合為義務教育階段的“數據分析素養”，即讓學生學會用數學的眼光觀察世界;通過調查研究、收集數據將實際問題數學化，理解和處理數據后解釋世界;用數學方法對數據進行分析判斷后再重新認識世界。這既是時代發展的新要求，也是大數據時代下學生在升學、就業乃至生活中不可或缺的數學素養，因此要將其貫穿于整個基礎教育數學教學活動的全過程。特別在學生數據分析素養的培養過程中，應該做到符合時代發展特征，充分發揮學科作用，用好概率與統計內容這個載體，真正實現“隨風潛入夜，潤物細無聲”。

2.突出課程內容主線，培養解決問題能力

從目前中學的實際教學情況來看，概率與統計教學尚未達到預期效果，主要原因之一就是“11標準”和“17標準”對初高中概率與統計內容在結構設置上存在的差異，影響了數學知識體系的整體性?！?1標準”將課程內容分為四個模塊，但模塊化的課程結構容易割裂數學內容之間的邏輯聯系，導致初高中課程內容銜接不暢。因此，修訂“標準”時應該關注課程內容的內在關系和思想方法，可以考慮突出數與代數、圖形與幾何、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，同時甄選恰當的課程內容，將其貫穿于各個年級的課程中，實現與高中的自然銜接。“11標準”中的綜合與實踐作為一個單獨模塊，只有籠統的表述，沒有和課程內容結合，也未能發揮其應有的價值。因此，修訂“標準”時可以考慮將綜合與實踐融入四條主線，并貫穿于課程內容之中，以此培養學生的問題意識、應用意識和創新意識。以概率與統計內容為例，這部分內容應多與日常生活中的實際問題相結合，可針對概率與統計內容給出具體的綜合與實踐案例，這不僅能為教學提供一個明確的方向，也能幫助教師更好地將綜合與實踐融入四條內容主線。

3.增加命題建議，確?！皹藴省迸c考核一致

在梳理概率與統計內容的發展歷程時發現，有些時期的教學大綱中設置的這一內容并未很好地落實到實際教學中。這既有社會發展對這部分知識需求過低的因素，也有學生不重視的因素，但不可否認的是這些教學大綱對概率與統計知識的“期望”與考試評價“實際”之間的一致性存在偏差是主要原因之一。國家課程標準是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據，但在以往的考試命題中“考試大綱”的影響力高于“課程標準”，這就導致“課程標準”未能充分發揮對教學的指導作用。2019年11月29日，教育部頒布了《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》，該意見指出：取消初中學業水平考試大綱，將嚴格依據義務教育課程標準科學命題，促進學生認真學好每門課程，完成國家規定的義務教育學業。至此，“標準”成為義務階段教學和考試評價的唯一依據，這就必然要求“標準”的修訂要強調關注評價，尤其關注考試命題，避免“標準”與考試脫節?！?1標準”中雖然有“書面測驗建議”，但是義務教育后所面臨的兼具“畢業性”與“選拔性”的初中學業評價（中考）是義務教育的終結性測驗，其評價與命題的依據就是“標準”，所以修訂“標準”時除已有的“書面測試建議”外，可以考慮增加“初中學業評價與中考命題建議”，并可以根據學生不同需要（就業、升學）明確對四個主線內容的不同學習要求，也就是“義務教育階段數學學科核心素養”的不同水平。對概率與統計內容的不同學習要求，對應的就是數據分析素養的不同水平。這樣，不僅教師在概率與統計的實際教學中能夠有章可循，保證平時階段性測試的命題科學合理，更讓初中學業評價（中考）中概率與統計內容命題能夠有據可依，可在一定程度上減小“標準”與考試評價之間一致性的偏差，使得概率與統計內容的考核與評價更加科學有效，從而有力地促進學生數據分析素養的發展和養成。

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[作者：邢田宇（1997-），女，內蒙古呼倫貝爾人，寶雞文理學院數學與信息科學學院，碩士生;孫小軍（1978-），男，陜西寶雞人，寶雞文理學院數學與信息科學學院，教授。]

【責任編輯? 郭振玲】