解三角形最值問題的兩種轉化策略分析

玉素貞

摘 要：普通高中數學課程標準（新課標）提出數學核心素養的培養，其中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析處理，這些數學素養也在高考試題中體現出來。解三角形高考題中涉及最值的問題經常出現，以解三角形為載體，考查最值問題是數學核心素養的一種重要考查方式，這類問題常常令許多考生沒有解題思維，導致失分。文章從兩個維度來處理此類問題，給出兩種轉化策略。

關鍵詞：核心素養;三角形;基本不等式;化邊為角;最值

教育部于2014年3月30日發布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中提出研究制訂學生發展核心素養體系，明確學生應具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。2015版的《普通高中數學課程標準》提出六大核心素養，具體為數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。指引教育準確把握當今人才培養方向，引導考試評價更加準確反映當下人才培養的要求，數學核心素養體系成為數學教育研究者和一線教師的關注焦點。關于數學核心素養的理論研究日趨完善。受傳統學習方式和考試評價的長期影響，數學教育存在著一些共性問題，課堂教學過分追求高考分數、重視高升學率，教師往往重視課堂結果、忽視認知過程，重視試題結果忽視了實際應用，導致高中生只能死記硬背教材內容，自身邏輯能力較差。

隨著新課程改革的不斷推進，一線教師普遍感覺到新課改對教師和學生的要求相比以前都有明顯提高。課時量減少了但是教材的內容卻增加了，考試題目看似常規簡單但是需要學生認真審題靈活運用已掌握的知識和方法技能，這就要求必須進一步提高課堂效率，需要教師在實際課堂教學中，在學生熟悉基本數學知識方法的前提下，加強學生科學思維能力的訓練，使學生不僅能利用正確的科學思維來處理數學中遇到的問題，更能讓學生的核心素養得到提高。

解三角形高考題中涉及最值的問題經常出現，以解三角形為載體，考查最值問題是數學核心素養的一種重要考查方式，這類問題常常令許多考生沒有解題思維，導致失分。文章從兩個維度來處理此類問題，給出兩種轉化策略。

一、 利用基本不等式和三角形的幾何性質求最值

【例1】 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosA=13。

（1）略;

（2）若a=3，求bc的最大值。

分析如下：因為a2=b2+c2-2bccosA，∴3=b2+c2-23bc。

由基本不等式b2+c2≥2bc有3≥2bc-23bc，即43bc≤3，當且僅當b=c時取等，∴bc≤94，當且僅當b=c=32時（bc）max=94。

點評：在這一問題的分析過程中，我們需要透過題目信息，挖掘考查的本質內涵所在，以此為突破口，進行分析和解答。首先，根據題給信息可以看出，本題主要結合了基本不等式和解三角形相關的最值或范圍問題，對學生的綜合能力進行考查。此題利用余弦定理結合不等式b2+c2≥2bc轉化為有關bc的不等式進而求出bc的范圍。綜合而言，在高中數學中經常出現這類問題，其主要的特點是涉及的知識面廣、靈活性大、綜合性強，需要教師在解題的過程中注重對學生的引導估計，培養學生的思維能力和創新意識。

【例2】 在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，其中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。

（1）求角C的大小;

（2）求a+bc的取值范圍。

分析如下：（1）由正弦定理及已知條件，化角為邊得：a2+b2-ab=c2，∴cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，C=60°。

（2）在△ABC中，a+b>c，∴a+bc>1。又c2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，∵a+b≥2ab，∴ab≤a+b22，則c2≥（a+b）2-34（a+b）2=14（a+b）2，從而（a+b）2c2≤4， 即a+bc≤2，（當且僅當a=b時取等），綜上所述，1

點評：此題利用余弦定理及基本不等式a+b≥2ab把ab轉化為有關a+b的不等式進而求a+bc的最大值，再利用三角形基本性質，兩邊的和大于第三邊，得a+b>c則a+bc>1。

例1和例2都是利用余弦定理，結合基本不等式及其推論求解最值。這種解題策略需要學生對兩個正數的和與積的關系靈活轉換，體現了其數學運算和數據分析的能力。

二、 化邊為角轉化為三角函數的最值問題

三角函數中，正弦函數和余弦函數具有一個最基本也是最重要的特征——有界性，這是求解三角最值問題的常用方法。利用正弦定理化邊為角將多元問題降元，轉化為一元問題，再利用三角函數的有界性可求解出最值。

【例3】 在△ABC中，B=60°，AC=3，則AB+2BC的最大值為??? 。

分析：∵asinA=csinC=bsin60°=2，∴a=2sinA，c=2sinC，∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin（120°-C）=2sinC+4sin120°，cosC=4cos120°sinC=4sinC+23cosC=2727sinC+37cosC=27sin（C+φ）（其中cosφ=27，sinφ=37，0°<φ<90°），∵0°

點評：此題利用正弦定理化邊為角，再根據三角恒等變化轉化為求三角函數y=Asin（ωx+φ）的最值問題。

同樣的，例2第（2）問也可以利用正弦定理把邊轉化為角，從而轉化為求三角函數y=Asin（ωx+φ）的最值問題。