“指數函數”教材內容的比較研究

易雪琴 陳火弟 劉倩

[摘 要] 本文選取人教A版與北師大版高中數學教材“指數函數”有關內容，綜合運用內容分析法與難度模型法，從章節結構編排、概念的呈現方式、基本思想與方法的挖掘、習題配置和編寫者意圖五個維度進行比較研究，旨在以培養數學核心素養為導向，對高中數學教學提出合理化建議。

[關鍵詞] 人教A版;北師大版;指數函數;對比分析

教材是根據課程標準編寫的教學用書，是教師課堂教學的依據，也是引導學生發展的范例。數學教材為“教”與“學”活動提供了學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學核心素養的教學資源。教材具有普適性，教師應合理運用教材進行創造性教學，從而體現出教學的適宜性。隨著新一輪課程改革的深入，在數學核心素養視域下，越來越多的教學工作者把目光聚焦在對教材的研究上。

人教A版和北師大版教材是目前國內使用范圍最廣、影響最大的兩版教科書。兩版教材的編寫各具特色，具有重要的研究價值。函數是高中數學的一條主線，也是初等數學的核心內容。指數函數作為高中數學學習的基礎，對高中函數概念的承接與深化，以及后續對數函數的學習有著承上啟下的重要作用。

本文以高中“指數函數”為例，研究對象分別為人教A版（數學必修一第二章第一節）和北師大版（數學必修一第三章前三節）教材。從教材的章節結構編排、概念的呈現方式、基本思想與方法的挖掘、習題配置和編寫者意圖五個維度進行比較研究，旨在以培養數學核心素養為導向，對高中數學教學提出合理化建議。

一、教材章節結構編排的比較

首先，兩版教科書的章節標題不同，人教A版為“基本初等函數（I）”，北師大版為“指數函數和對數函數”（冪函數被編入第二章）。

在人教A版教材中，指數函數內容為48～61頁，占第二章內容篇幅的38.9%。在北師大版教材中，指數函數相關內容為61～77頁和98～103頁，占第三章內容篇幅的46%，占三個基本初等函數內容總篇幅的37%（加上第二章冪函數內容）。人教A版教材中，指數函數相關內容所占比例略高于北師大版。北師大版將指數函數內容分為三個小節，而人教版則整合為一個章節。北師大版注重知識的模塊化，而人教版注重知識的遞進。

雖然兩版教材在每個小節中都有“信息技術應用”一欄，但北師大版運用了現代化教學軟件，能更準確地觀察函數的變化趨勢，強調了信息技術的運用。

二、指數函數概念呈現方式的比較

通過分析指數函數概念的呈現方式，我們可以發現人教A版和北師大版教材存在以下異同點。

1.在引入指數函數前，兩版教材皆有對指數概念的擴充以及運算性質內容的講解，但人教A版對根式及相關概念（如次方根、根指數、被開方數等）有較詳細的描述，北師大版則沒有提及。特別的是，北師大版在該章第一節安排了對正整數指數函數內容的學習。

2.在引入指數函數概念時，人教A版通過之前學習的兩個問題，應用探究的方式，科學、合理地引入了指數函數，隨后自然地給出了兩個特殊的指數函數，而北師大版則直接給出指數函數的概念。

3.兩版教材皆在指數函數概念之后給出兩個特殊的指數函數，即y=2x和y=（[1/2]）x，為后續學習一般情況下指數函數的圖像和性質做準備。在對這兩個特殊指數函數圖像和性質的研究過程中，人教A版“思考”一欄中提出：“函數y=2x的圖像與函數y=（[1/2]）x的圖像有什么關系？可否利用y=2x的圖像畫出y=（[1/2]）x的圖像？”著重探究了函數的對稱性;而北師大版則著重研究函數的基本性質（如過定點、單調性、定義域、值域等），且把兩個特殊函數的對稱性編排在對指數函數概念的升華部分，更符合學生的認知發展規律。

4.在研究一般情況下的指數函數圖像和性質時，人教A版和北師大版都是通過畫出并觀察、分析若干底數不同的指數函數圖像而歸納出一般情況。不同的是，北師大版將函數y=2x與y=（[1/2]）x的圖像關系編排在這一部分，且將結論延伸到一般情況，另外還詳細描述了底數對指數函數的影響，而人教A版沒有提及。

5.在概念的應用中，兩版教材都有用指數函數解決數學問題和生活實際問題，但人教A版中提到：“形如y=kax（k∈R，a>0，且a≠1）的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型?！睆娬{了對數學建模概念的培養。

三、數學基本思想與方法的挖掘

由于兩版教材中指數函數相關內容的篇幅較長，筆者在這一部分主要選取了指數函數的概念及其性質，詳見人教A版教材第63～68頁和北師大版教材第70～76頁，并以此為基礎展開深度挖掘。

四、習題配置的比較

人教A版教材總體題量不多，但每個知識點都有涉及。每節內容后都設有練習題，章節結束后配有習題。習題分為A、B兩組，難度呈階梯式分布，由易到難，編排原則符合學生的認知發展規律，具有科學性。A組題多為基礎題，難度較低，面對全體學生。B組題難度更高，對學生能力的考查也更深入。教師可以根據不同學生的特點，選擇適合學生的習題。

北師大教材總體題量較多，其中例題數量比習題數量少，習題的難度明顯高于例題，習題中出現了例題中沒有的題型。每一小節后都安排了練習題，每節結束和章節結束后都設有習題，習題安排緊密，對知識點進行反復考查。習題也分為A、B兩組，由易到難，安排合理。

為了更詳細地看出教材對習題配置的差異，筆者利用了難度模型法，從探究、背景、運算、推理、知識含量五個維度及其相應的等級水平，分析了習題配置的難易程度。其中，探究難度因素分為識記、理解和探究三個層次;背景難度因素分為無實際背景、個人生活背景、公共常識背景和科學背景;運算難度因素分為無運算、簡單符號運算和復雜符號運算;推理難度因素分為無推理、簡單推理和復雜推理;知識含量難度因素分為單個知識點、兩個知識點、三個知識點、四個及以上知識點。通過對難度因素的不同等級進行賦值，筆者求出了加權平均值，繪制出的雷達圖如下：

總體上看，在指數函數章節，兩版教材都注重對學生運算能力的考查，加權平均值接近2.5，而在背景維度上，兩版教材的加權平均值都較低。

人教A版的例題和習題在背景、運算和知識含量上均高于北師大版，而北師大版在探究和推理上明顯高于人教A版。說明人教A版更注重對學生知識點的綜合掌握及對數學運算能力的培養，題目與學生的生活聯系得更加緊密，而北師大版則側重對學生邏輯推理和探究能力的培養。

五、編寫者意圖的比較

現行人教A版和北師大版教材均為課標優秀教材，因編寫者的側重點不同而表現出一定的差異性，彰顯了不同版本教材的特色。

人教A版側重于知識呈現過程的完整性。例如，在指數函數概念的引入中，教材利用兩個數學問題，引出指數函數的概念，一步步地引導學生理解指數函數的概念，滲透數學的思維與方法。教材更貼近生活，強調了指數函數在實際生活中的運用，有利于學生學習理解，但題量偏少且難度不高。

北師大版側重培養學生的自主探究能力，有利于提高學生對數學學習的積極性。教材的目錄非常詳細，復習時方便學生快速查閱。例如，教材詳細研究了底數對指數函數圖像及其性質的影響，有利于培養學生的數學核心素養。

六、結語

教師、教材、學生是課堂教學的三大基本要素。教學內容應取自教材而不拘泥于教材，教師備課時要把握課標基本理念與教學要求，不斷地吸取、借鑒不同教材中的優點，根據學生的實際情況，靈活使用教材，對不同版本的教材進行再加工，合理地組織教學內容，使其更好地促進學生全面、有個性的發展。實現從“教教材”到“用教材教”的根本性轉變。

在引入指數函數概念時，北師大版教材可以借鑒人教A版中的引入方式，通過探究，得出指數函數的概念;或將人教A版教材中引入的部分數學問題，改編成一些生活實例，引導學生先將問題生活化，再反向推導數學概念，以幫助培養學生的數學抽象思維（將生活問題抽象成數學問題、對數學概念的抽象概括）。同時，培養學生的數學建模素養，讓其感受到數學的應用價值。

兩版教材在指數函數章節中涉及數學文化的內容不多，教師在教學設計時，可以適當地增加有關數學文化的內容，這樣既可以讓數學課堂不至于太枯燥，又能開拓學生的視野，還讓學生感受到數學的文化價值和數學學科獨特的魅力，發揮數學的德育功能，落實新時代“立德樹人”的要求。

[作者簡介] 易雪琴（1998—??? ），女，江西萍鄉人，東華理工大學在讀研究生，研究方向為數學基礎教育研究;陳火弟（1963—??? ），男，江西進賢人，東華理工大學師范學院副教授，研究方向為數學課程與教學論;劉倩（1997—??? ），女，江西吉安人，東華理工大學在讀研究生，研究方向為數學基礎教育研究。