追本溯源、循序漸進、自然而為

劉美麗

摘要：“探究與發現”欄目的教學應在學生舊知的基礎上，以層層遞進的問題串、適時的切入點引導學生的思維活動，讓學生在教師的啟發下經歷知識的形成過程，感受知識的自然生成，使課堂教學追本溯源、循序漸進、自然開展，讓學生在過程中培養數學思維、發展數學能力、提升數學核心素養。

關鍵詞：探究與發現;課堂教學;教學設計;反思

根據《普通高中數學課程標準（實驗）》編寫的普通高中課程標準實驗教科書--數學（A版本，人民教育出版社）增加了閱讀性與實踐性都很強的欄目，“探究與發現”是其之一，它涉及了知識的延伸與拓展、知識的應用以及數學的發展史等內容，它的研究有助于踐行新課標的基本理念：（1）倡導積極主動、勇于探索的學習方式;（2）注重提高學生的數學思維能力，對這種課型該如何指導學生進行學習呢？本文結合《互為反函數的兩個函數圖像之間的關系》一課的教學設計，談談筆者的認識與體會，供大家參考。

一、教學目標

（1）知識與技能：①了解互為反函數的函數圖像間的關系，并能利用這一關系，由已知函數的圖像作出反函數的圖像。②通過由特殊到一般的歸納，培養學生探索問題的能力。

（2）過程與方法：采用自主探索，引導發現，直觀演示等教學方法，由特例，引導學生探索互為反函數指、對數函數的函數圖像間的關系，進而歸納出互為反函數的函數圖像間的關系與其它性質。

（3）情感態度價值觀：通過圖像的對稱變換使學生感受數學的對稱美、和諧美，激發學生的學習興趣。

二、教學重難點

教學重點：互為反函數的兩個函數圖像之間的關系。

教學難點：點關于直線對稱點的坐標的求法。

三、課前探究

寫出自己的推導過程：

探究一：

1、點關于軸的對稱點;

2、點關于軸的對稱點

3、點關于原點的對稱點;

三、教學過程

（一）溫故知新、引出課題

教師：同學們，通過學習課本第73頁，我們知道，當時，對數函數和指數函數是互為反函數的。那么，互為反函數的的兩個函數圖像之間有什么關系嗎？

（二）師生互動、探究新知

探究一：指數函數與對數函數兩圖像之間的關系

為了探究這兩個函數之間的關系，教師做法是：借助幾何畫板畫出函數及的圖象，依次給出以下問題：

問題1：取函數的圖象上的幾個點，關于直線的對稱點的坐標是什么？它們在函數的圖像上嗎？為什么？

學生1關于直線的對稱點的坐標分別為，，，每個點坐標滿足，所以，它們在函數的圖像上。

問題2：如果點在的圖象上，那么關于直線的對稱點的坐標是什么？它在函數的圖像上嗎？為什么？

學生2：利用對稱性可知關于直線的對稱點坐標為，因為，所以，即點在函數的圖像上。

問題3：綜合問題1和問題2，指數函數以及對數函數，這兩個函數圖像有什么對稱關系？

學生3：兩個函數圖像關于直線對稱。

問題4：上述結論對于指數函數及其反函數也成立嗎？為什么？

學生4：指數函數及其反函數的圖像關于直線對稱。設在函數上，由對稱性可知關于直線的對稱點坐標為，由則，所以，即點在函數的圖像上，所以兩圖像關于直線對稱。

問題5：函數及其反函數的定義域和值域分別是什么，它們的定義域和值域有怎樣的關系？

定義域

值域

學生5：指數函數的定義域是，值域是;對數函數的定義域是，值域是。

學生6：指數函數的定義域是對數函數的值域，指數函數的值域是對數函數的定義域。

問題6：指數函數及其反函數的單調性有什么聯系？

（三）精講釋疑、落實掌握

例1、設時，函數的反函數和的反函數圖像關于______對稱。

解：函的反函數為，函數的反函數是，函數與函數關于軸對稱。

• 教后反思

反思教學設計與課堂實施過程的點滴，有以下幾點想法：①教學的難點前置探究。本節課難點是點關于直對稱點的坐標的求法，為了突破難點，在課前借助“問題”為載體，讓學生通過直觀感知、推導確認等方法探索出點關于直線的對稱點的坐標是，為課堂教學做好鋪墊。②課堂的引入直奔主題。課堂引入的方式很多，本設計沒有選擇曲徑通幽式或含而不露式等反式，而是結合教學內容和學生的認知水平，由學生最近發展區出發，通過復習舊知喚醒學生對知識的回憶，通過問題提出，激發學生對新知的學習渴求，使新課的引入自然而出。③分層的作業促進發展。教學中對學生的作業布置堅持“優生多而適當提高難度，學困生少而減低難度”的原則，要求優等生完成“復習鞏固”“綜合應用”“拓廣探索”所有題目，學困生完成“復習鞏固”“綜合應用”所有題目，這樣的實施，注重遵循以人為本，因材施教的原則，可以使優秀生得到更多知識，學困生得到有效轉化，使不同層次的學生都得到應有的提高。

參考文獻：

（1）陶友根，李婷，李紅慶.領悟教材編寫意圖，設計“思維過程的教學”[J].中學數學教學參考（上旬），2019（9）：25-28.

（2）胡二玲，余樹寶.數學教學當返璞歸真，自然而為[J].中學數學教學參考（上旬），2019（9）：33-36.

本文為2020年度河南省基礎教育教學研究課題“高中數學“探究與發現”模塊的教學策略研究”（課題編號：JCJYC20031814）研究成果。