把握概念關鍵教學點，發展數學抽象思維

孫蘭 陳國良

摘要：概念的關鍵教學點即一個根本或核心的教學點，是把握概念的一個突破口。抓住概念關鍵教學點能起到“奠基（知識）、示范（方法）、引領（能力）、啟迪（思想）”的作用。本文以“三角函數的概念”為例闡述如何把握教學關鍵點，發展學生的數學抽象思維。

關鍵詞：概念教學;關鍵教學點;教學過程，數學抽象思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-094

所謂“關鍵教學點”是指一個根本的或核心的教學點，從知識或思想方法上對其他數學知識的學習有一定統領或較強遷移作用的教學點，它在教學過程中能起到“奠基（知識）、示范（方法）、引領（能力）、啟迪（思想）”的作用。加強“關鍵教學點”的教學，有利于學生更好地掌握基礎知識、基本技能、基本思想，形成基本活動經驗的能力。[1]三角函數的概念是高中數學教學的一個核心概念，是學生利用直角三角形表示銳角三角函數的升級，是對函數概念的加深。因此銳角三角函數及函數的概念是本節課的關鍵教學點，而如何在學生原有認知的基礎上，借助直角三角形、直角坐標系和單位圓，三位一體共同刻畫出三角函數的概念是突破這一教學關鍵點的方法。下面，筆者將以“三角函數的概念”為例闡述如何把握概念教學關鍵點，發展學生的數學抽象思維。

一、經歷實物表征過程，發展感性認知

周期現象一般與周期運動有關，一個常見又簡單的例子便是“圓周上一個點的運動”。

問題1：以摩天輪中心為參照物，如何刻畫坐在摩天輪里面的人的位置？

我們所學習的函數模型中有沒有能刻畫這種周而復始的變化？

你能否把問題抽象成數學問題？

設計意圖：該環節把抽象的數學概念以典型、生動、具體的實例呈現給學生，然后在直觀感知和認知經驗的基礎上提煉出問題的本質。讓學生通過生活實例對事物進行表征，從中抽象出數學的研究對象;通過對問題一般性的思考和分析，初步發展學生的感性認知;通過用數學的眼光看世界，以達到培養學生數學抽象的思維方式的目標。

二、經歷圖形表征過程，豐富表象認知

問題2：如圖，圓上一點P在以A為起點逆時針旋轉的過程中，如何刻畫點P的位置變化情況？

學生探究討論，產生兩種方案，方案1，可以以O為原點建立直角坐標系，那么點P的位置可以由點P的坐標（x，y）表示，方案2，點P的位置由半徑和∠POA確定。設半徑為r，∠POA為α，則點P的位置可表示為（r，α）。

問題3：既然兩種方法都可以用來表示點P的位置，兩者之間由什么內在聯系？

設計意圖：讓學生明確所研究實際問題的數學背景，從兩個不同的視角來表示點P，培養學生有意識地用數學的語言來表達世界。

問題4：為了簡化上述問題，先設α為銳角，過P做PM垂直x軸，在銳角三角形POM中，角α與三角形的對邊、鄰邊、斜邊有什么關系？

設計意圖：培養學生將復雜的問題簡單化的思維習慣，在已有的銳角三角函數的知識的基礎上進一步探索，得到角α的正弦值、余弦值和正切值：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx。可見，銳角三角函數是本節課的一個關鍵教學點，通過在直角三角形中研究銳角的三角函數值，對銳角三角函數知識進行回顧，方法進行示范，從而進行思想引領，由淺入深，循序漸進引出任意角的三角函數。

問題5：對于銳角α，當點P在α的終邊上運動時，α的正弦值、余弦值和正切值會發生改變嗎？

設計意圖：引導學生利用相似三角形，發現終邊上點的位置不會改變對應邊的比值，即對三角函數值沒有影響，在發現的過程中促進學生邏輯推理和數學抽象等核心素養的形成和發展。

問題6：上述比值與哪個量有關？

設計意圖：α確定了，對應邊之間的比值就確定了，α與對應邊比值之間形成了一種一一對應關系，即對于任意的銳角α，有且只有唯一的yr與之對應，初步以函數概念的模式對表達式進行闡述。

問題7：既然終邊上一點P的位置不會影響α的三角函數值，那么能否在終邊上選取適當的點P，使表達式簡化？

設計意圖：當點P位于終邊與單位圓的交點，即r=1表達式最簡，自然過渡到單位圓，由此得到，sinα=y，cosα=x，tanα=yx讓學生感受數學的簡潔美。

問題8：與銳角終邊相同的角，上述表達式是否依然成立？

問題9：α的終邊在二、三、四象限，上述表達式是否依然成立？

設計意圖：抓住銳角三角函數這一教學關鍵點，從特殊到一般，從對銳角三角函數的研究，過渡到對終邊相同的角的研究，到對二、三、四象限角的研究，層層深入把角過渡到任意角，幫助學生突破從銳角三角函數到任意角的三角函數的這一教學難點。

三、經歷符號表征過程，形成抽象思維

問題10：探究x，y的值隨α的變化情況，x，y的值是否由α唯一確定？

通過幾何畫板的演示，讓學生觀察x，y的值隨α的變化過程，并發現x，y的值由α唯一確定。

問題11：α→y是一種什么樣的對應關系？

一般的，任意給定一個角α，它的終邊與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x，還是縱坐標y，都是唯一確定的。所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數。

設計意圖：α既是一個角，又是一個實數（弧度制），這樣，當α確定時，有且只有唯一確定的y與之對應。如果在一個數集當中的任意一個元素，在另一個數集當中都有唯一確定的元素與之對應，則這就是函數關系。此時，α的正弦值就與y之間建立了函數關系，同理，α的余弦值就與x之間建立了函數關系，α的正切值與yx之間建立了函數關系。通過學生的動手探索、小組討論，引導學生與其他已有函數感念進行類比，觀察總結出α→y的對應本質上是函數的對應，從而歸納、建構出三角函數的概念。培養學生在關聯情境中，發現、提出并解決問題的能力。

設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y）。

（1）把點P的縱坐標y叫作α的正弦函數，記作sinα，即y=sinα;

（2）把點P的橫坐標x叫作α的余弦函數，記作sinα，即x=cosα;

（3）把點P的縱坐標與橫坐標的比值yx叫作α的正切函數，記作tanα，即yx=tanα（x≠0）。[2]

設計意圖：新課標建議教師從知識、思想方法、素養的角度整體把握課程內容，從關注一節課、一節課的教學到更大范圍（如一個單元、一章、一個主題）的教學，促進學生數學學科核心素養連續性和階段性發展[3]。就本節課而言，函數概念關鍵教學點，任意角的三角函數是函數的一個下位概念，因此教學設計上應該將三角函數納入函數的定義體系中，用研究一般函數的方法來研究任意角的三角函數，從而體現知識、方法和素養的整體性與連貫性[4]。

綜上所述，本節課的設計從摩天輪上的游客入手，抽象成圓上點的位置;教學過程牢牢抓住研究（r，α）和（x，y）的內在聯系，抽象出銳角三角形中邊角的關系，進而推廣到任意角的三角函數的表示方法;通過分析角與坐標的對應關系，抽象出這種對應本身就是一種函數關系，水到渠成得出三角函數的概念。這樣的設計讓學生通過自己的獨立思考以及與他人的討論與反思，自己悟出概念;通過一系列符號的表征，用數學思維分析、解決問題，用數學的語言表達世界，不斷培養學生的抽象思維能力。

參考文獻：

[1]李曉華，邵瓊.“教學關鍵點”視角下培養學生數學核心素養的實踐與思考——以“任意角的三角函數”為例[J].中學數學研究，2020（09）：14-16.

[2]章建躍，李增滬.普通高中教科書·數學（必修）：第一冊[M].A版.北京：人民教育出版社，2019.

[3]史寧中，王尚志主編.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀岡.北京：高等教育出版社，2018（05）.

[4]劉宏英.核心素養理念下的概念教學——以“任意角的三角函數（第一課時）”同課異構為例[J].高中數學教與學，2020（12）20-21.

本文系江蘇省十三五規劃課題《指向“數學抽象”核心素養的核心概念教學的實踐研究》（批準號：XB-b/2018/05）和蘇州市十三五規劃課題《構建數學核心概念與思想方法資源庫，優化高中數學教與學的研究》（批準號蘇教科規驗字第16122377）成果。

（作者單位：江蘇省沙溪高級中學，江蘇 太倉215400）