高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的化歸思想

羅偉胡

【摘要】化歸的思想是我們在高中數(shù)學(xué)中使用的最基本的一種思想和方法之一，熟悉和理解掌握化歸思想對于其它各種數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)都有很大的幫助，化歸思想在高中數(shù)學(xué)中無處不在。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化;化歸思想

《數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)》中明確指出，現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論思想研究方法主要指的是對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識的一個具體本質(zhì)理性認(rèn)識，是對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律的理性認(rèn)識，是從具體化的數(shù)學(xué)思想內(nèi)容和其它具體數(shù)學(xué)思想認(rèn)識結(jié)合過程中逐步提煉和不斷上升的一種重要數(shù)學(xué)思想觀點(diǎn)，它在目前人們普遍認(rèn)識的數(shù)學(xué)活動中反復(fù)發(fā)生應(yīng)用，帶有一定普遍性和重要指導(dǎo)意義。我國現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)中常見的一些高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和研究思想及其研究討論方法主要包括有：化歸思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等。化歸思想是目前我國整個現(xiàn)代化的高中數(shù)學(xué)中最常見和最為典型的一種思想教學(xué)方法之一，其它的思想教學(xué)方法大多都蘊(yùn)藏著這樣一個數(shù)學(xué)思想，既是各種思想方法的基礎(chǔ)，更是各種思想方法的靈魂。學(xué)習(xí)和掌握化歸思想有利于其它數(shù)學(xué)思想方法的掌握。例如，分類思維討論中的的思維分析局部和思考整體之間的結(jié)合轉(zhuǎn)變，數(shù)形相互間的結(jié)合轉(zhuǎn)變思維討論中的代數(shù)和幾何圖形之間的相互結(jié)合轉(zhuǎn)變。歷史上應(yīng)用化歸思想的典型例子不勝枚舉，例如，笛卡爾的“萬能方法”、納皮爾的“對數(shù)法”都被普遍認(rèn)為是其的一個典型代表。

化歸思想的本質(zhì)就是聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。所謂“解決數(shù)學(xué)問題”是指我們通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等多種思維方法和過程把自己未知的轉(zhuǎn)化成了我們所熟悉的事物，把陌生的問題變成了我們所熟悉問題，解決數(shù)學(xué)問題的過程也就是我們一步步地化歸的過程。數(shù)學(xué)理論中的化歸無處不在，如，未知問題轉(zhuǎn)化成了已知的問題， 復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成了簡單的問題，新知識轉(zhuǎn)化成了舊知識，多元問題轉(zhuǎn)化成了一元問題。化歸思想的基本概念是：在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，往往是將待分析和解決的問題A，通過某種轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化成為另外一個相對較易分析和解決的問題B。例如：

（1）代數(shù)中求解方程的一般思路是高次化歸為低次，多元化歸為一元，分式方程可以化歸為整式方程，無理方程可以化歸為有理方程。

（2）三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，我們可以把任意一個角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，把不同角的三角函數(shù)化為相同角的三角函數(shù)。如，人教版基礎(chǔ)教材必修4第三章“三角恒等變換”，這章的主要內(nèi)容就是運(yùn)用三角函數(shù)的公式對其進(jìn)行不同類型三角函數(shù)的變換，角的變換，結(jié)構(gòu)形式的變換，培養(yǎng)了學(xué)生恒等變形的思想，彰顯了求變化歸的思想。

（3）高中解析幾何的主要內(nèi)容是把直線、圓、圓錐曲線化歸為代數(shù)問題。

（4）高中立體幾何的主要研究內(nèi)容是把空間的問題化歸為一個平面的問題，也可以把幾何問題化歸為向量問題。人教版數(shù)學(xué)課程選修2-1第三章的主要內(nèi)容分別是空間向量和立體幾何的內(nèi)容，立體幾何主要目標(biāo)是為了解決空間圖形之間的形狀、大小及其所在位置的關(guān)系。教材一開始就講述了空間向量可以表示的點(diǎn)、線、面等位置，然后運(yùn)用空間向量表示空間直線、平面之間的平行、垂直、夾角等，把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題。

下面，我們通過具體的例子講講高中數(shù)學(xué)中的化歸思想。

例1.（2016年文數(shù)全國新課標(biāo)2）函數(shù)f（x）=cos2x+

6cox（-x）的最大值為（? ? ）

A. 4? ? ? ? ? ? ?B. 5? ? ? ? ? ? ? C. 6? ? ? ? ? ? ? ?D. 7

【解析】函數(shù)f（x）=cos2x+6cox（-x）=1-2sin2x+6sinx，令t=sinx（-1≤t≤1），可得函數(shù)y=-2t2+6t+1=-2（t-）2+

，函數(shù)y=-2t2+6t+1在[-1，1]上單調(diào)遞增，即當(dāng)t=1，x=2kπ+，k∈z時，函數(shù)取得最大值5.故選B.

【問題分析】這道題主要是通過對三角函數(shù)進(jìn)行了考查，運(yùn)用二倍角公式和誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名同角三角函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值。

例2.若角的終邊在直線x+2y=0上，則的值（? ? ）

A. 11 ? ? ? ? ?B. 3? ? ? ? ? ?C.-11? ? ? ? ? ?D. -3

【解析】角a的終邊在直線x+2y=0上，∴tana=，∴，故選B.

【問題分析】本題考查利用直線斜率的定義，把斜率轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，求出tana，化簡代數(shù)式，把正弦余弦轉(zhuǎn)化為正切。

例3.已知直線l：x+y=3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，則△PAB面積的最大值為（? ? ）

A. 6 ? ? ?B.? ? ? ? C.? ? ? ?D.

【解析】設(shè)點(diǎn)P，則P到直線AB的距離為=，又A（3，0），B（0，3），則AB=3，所以△PAB面積為S=×3×

≤.故選D.

【問題分析】本題主要考查橢圓的參數(shù)方程以及利用參數(shù)方程求最值問題，利用參數(shù)方程設(shè)出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，把二元x、y轉(zhuǎn)化為一元θ，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值即可。

例4.已知函數(shù)f（x）=，則方程f（x）=ax恰有兩個不同的實(shí)根時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（? ? ）

A.? ? ? ? B.? ? ? ? ?C.? ? ? ? ?D.

【解析】作出f（x）與（x）的函數(shù)圖像，如圖所示：

設(shè)直線y=ax與y=lnx相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得

由圖像可知≤a<當(dāng)時，兩圖像有2個交點(diǎn)，故選B.

【問題分析】這道課題主要考查了方程的解與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何含義，數(shù)形相互結(jié)合的思想。把一個方程的解變成了兩個函數(shù)圖像之間的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像和交點(diǎn)的個數(shù)判斷a的范圍，最后將其轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)數(shù)在幾何上的含義來尋找參數(shù)。

通過以上的例子，我們發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中化歸思想無處不在，熟悉掌握化歸思想有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)。化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要意義：（1）有利于我們正確地理解和運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)中基本的概念和方法;（2）有利于新知識的深入學(xué)習(xí)和熟練掌握;（3）有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧;（4）有利于培養(yǎng)學(xué)生建立起一個完整的知識框架和認(rèn)識體系。

參考文獻(xiàn)：

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