學理性：“學科素養”下提升學生數學語言力

丁小東 李勇

[摘? 要] 數學語言應當追求一種內在的學理性。無論是概念、意義、法則還是公式、模型等，都蘊含著豐富的學理。在小學數學教學中，教師可以采用變式策略、精加工策略以及多元關聯策略，促進學生對數學知識的表征、理解。準確地運用文字語言、符號語言和圖表語言來表達知識、表達思維，從而不斷地提升學生的語言表達力，發展學生的數學核心素養！

[關鍵詞] 小學數學;數學語言;學理性;學科素養

蘇聯數學教育家斯托利亞爾曾經這樣說，“數學教學就是數學語言的教學”。從根本上說，學生學習數學就是掌握一門語言符號系統，并用這種符號系統進行思維。數學語言不同于文學語言，它有著自己的特質，諸如嚴謹性、邏輯性、抽象性等?；跀祵W學科素養的視角，數學語言應當追求一種內在的學理性。當數學語言擁有了內在的學理，自然也就體現了簡約化、邏輯化、抽象化。也就是說，“學理性”是數學語言的根源，是數學語言的根系、命脈之所在。在數學教學中，無論是概念、意義、法則還是公式、模型等，都蘊含著豐富的學理。認識學理、把握學理、運用學理，是提升學生數學語言能力的根本路徑。

一、變式策略：在多元表征中理解學理

所謂“變式”，是指在數學教學中，通過變換材料的非本質屬性，而凸顯本質屬性的過程。變式，有助學生理解數學語言的內在學理。學生在數學學習中，通常會對數學知識形成比較膚淺的認識，這種認識就表現為學生的生活化語言、描述性語言等。變式，能助推學生的數學語言表達從非本質走向本質、從生活走向數學、從膚淺走向深刻。法國數學家龐加萊說：“沒有數學這門語言，我們便無法發現世界內部的和諧和事物間的密切聯系?！?/p>

例如，教學“分數的意義”（蘇教版五年級下冊）一課，著重引導學生從過去的“一個物體”“一個計量單位”“許多物體組成的整體”抽象成“單位‘1的量”，這對于五年級學生而言具有一定的思維跨度，因而能引導學生數學素養的發展。教學中，筆者運用變式策略，將一塊蛋糕、一條線段、許多圓形組成的一個整體等進行平均分，從而引導學生對平均分的對象進行概括，即“一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的整體，都可以用自然數1來表示，通常我們把它叫作單位‘1”。在引導學生表述分數的意義時，我們對同樣的單位“1”的量平均分成不同的份數，對不同的單位“1”的量平均分成相同的份數。通過這樣的正反變式，讓學生感悟到，分數的意義與物體的個數等無關，與平均分的份數以及表示的份數相關。由此，催生學生對“分數的意義”的數學學理性表達：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數叫作分數。表示其中一份的數叫作分數單位。在引導學生對分數的意義進行多元化的表征過程中，學生逐漸舍棄了非本質屬性，提煉出本質屬性。如有學生說，“分數就是幾份之幾”。這種精簡化的概括，正說明學生已經把握了數學知識的本質內涵，因而就有了學理性的數學表達。

數學語言追求精準。培養學生學理性數學語言素養的關鍵，就是要讓學生對學習對象、對數學新知有本質的、深刻的認知。當學生對學習對象或數學新知有了本質認知后，其數學表達自然蘊含著學理性，其語言表達也自然能散發出濃濃的“數學味”。反之，當學生能用精準化的數學學理性語言將數學學習對象或數學新知表達出來時，也更加深化了學生對數學學習對象或數學新知的理解、把握。這是一個“內化”與“外化”的雙向互動。

二、精加工策略：在深層理解中領悟學理

數學語言有著豐富的內涵、特定的意義，尤其是一些數學術語、數學符號等。所謂“精加工”，就是通過豐富的數學學習材料，引導學生對一個數學概念作出不同層面的理解或者多元理解。通過精加工，能讓學生對數學知識的理解從片面走向全面、從模糊走向清晰、從膚淺走向深刻。當學生對數學概念的內涵與外延有了精準到位的把握，自然就能對語言進行數學化的編碼，自然就能運用數學的學理性語言來表達。

例如，教學“平均數”（蘇教版四年級上冊）時，筆者發現學生在生活中已經觸碰到了平均數，但對平均數的理解處于感性的、模糊的層面，沒有形成理性的認知。因而，學生在表達對平均數的認知時，常常說成“平均數就是讓這些數量都相等”“平均數就是讓大的一些數量給小的一些數量，讓大數量和小數量同樣多”，等等。為此，筆者在教學中，借助教材中的素材——“四年級第一小組男女生套圈比賽，怎樣比較男女生套圈的本領”，促進學生對平均數的理解從膚淺走向深度。“平均數作為一種統計量，具有一種虛擬性、敏感性”，也就是說，“平均數是我們為了刻畫一組數據的整體水平而虛擬出的一個數據，并不是真實存在的數據”“一組數據中的任何一個數據的波動都會影響作為統計量的平均數”。教學中，當學生通過“移多補少”以及“算術計算”之后，發現男生套圈的平均數是7，這個數據恰好與男生中的王宇同學套中圈的個數相同?；诖?，筆者適時追問學生：這個平均數7與王宇同學套中圈的數據7一樣嗎？學生通過反思、內省，發現“平均數是一種假想的、虛擬的數據，它只是反映了一組數據的整體性水平，而王宇同學套中圈的個數7卻是一個真實存在的數據”。在學生認識到平均數的虛擬性之后，多媒體課件顯示這一小組又來了一位男生，學生再次計算平均數，結果發現，平均數已經發生了變化：原來男生套中圈的平均數高于女生，現在男生套中圈的平均數反而低于女生。有學生說，一個數據的變動就會影響平均數，就會影響一組數據的整體水平。由此，學生理解了平均數的敏感性。最后，筆者通過一組精心設計的數據（包含兩個極端數據），引導學生認識到平均數只是統計量中的一種。統計量不僅僅有平均數，還包括眾數、中位數等。

對平均數素材的精加工，促進了學生對作為統計量的“平均數”的深刻理解。因而，也就有了學生對平均數這樣一個統計量的學理性數學表達。值得注意的是，不同的學生對于同一個數學學習對象會產生不同的學理性表達。作為教師，不必苛求學生數學學理性表達的統一性，而應當允許學生的多元化表達，只要這種表達所揭示的數學知識的內涵與外延是到位的即可。

三、多元關聯策略：在互譯互化中發展學理

學理性的數學語言有著不同的類型，這些類型的學理性數學語言是相通的。同時，學理性數學語言也不是憑空產生的，它來源于學生的生活語言、日常語言，卻高于學生的生活語言、日常語言。因而，學理性數學語言與生活語言、日常語言也是相通的。作為教師，要引導學生在不同類型的數學學理性語言之間互化互譯互通，引導學生將日常的生活語言提煉成學理性數學語言，從而能建立一個基于學生數學學科素養發展的數學“話語系統”“表達系統”等。

例如，教學“比的認識”“比的基本性質”（蘇教版六年級上冊）時，教師可以通過表格，溝通“比”與“分數”“除法”等概念之間的關聯，促進學生對比的意義的理解，催生學生對比的意義的學理性表達?！氨取薄胺謹怠薄俺ā边@三個數學學習內容分屬于不同的數學概念系統，通過數學語言，這些概念得到了有效的溝通。在教學中，教師不僅要引導學生表達“比”“分數”“除法”之間的關聯，更要引導學生表達它們之間的區別。有了對相關數學概念關系的認知，學生就能借助自我的已有知識經驗——“商不變的規律”“分數的基本性質”等，嘗試建構、表達“比的基本性質”。通過對“比的基本性質”的建構、表達，學生能對相關的數學概念進行數學語言的整體性建構、整體性表達。通過數學語言的整體性表達，數學新知被有效地納入學生已有的認知結構之中，形成了較強的結構性功能的數學語言系統。如在“比”“分數”和“除法”的話語系統之中，學生牢牢地把握了“同時”“乘除”“相同的不為0的數”的概念的關鍵性特質。

同一個數學對象（概念、定理等）可以有不同的表征方式。多元關聯策略要求學生在數學語言表達的過程中，要進行不同數學語言的互化、互轉、互譯。通過這樣的多元關聯，深化學生對數學概念的理解，溝通數學知識之間的內在關聯。在數學教學中，教師要引導學生準確地運用文字語言、符號語言和圖表語言來表達知識、表達思維，從而不斷地提升學生的語言表達力，發展學生的數學核心素養！