數學化：助推學生的數學建模

仇月華

[摘? 要] 學生的數學學習過程從某種意義上來說就是一個數學建模的過程。在數學建模的過程中，數學化發揮著重要的作用。學生的數學學習不僅要橫向數學化，而且要縱向數學化，更要綜合性地縱橫數學化。只有深入“建模”的意義，才能稱得上是一種真正的、有深度的數學學習。

[關鍵詞] 小學數學;數學化;數學建模

從根本上說，數學是一門模型的科學。所有的數學概念、定理、法則等說到底就是一個個數學模型，它們都是對現實世界中的問題的數學化刻畫。因此，學生的數學學習過程從某種意義上來說，就是一個數學建模的過程。作為教師，既要引導學生對實際問題進行細致入微地觀察、分析和描述，將現實問題抽象成數學模型，同時又要注重將數學模型運用到實際中，用數學模型詮釋。數學化在其中發揮著重要的作用。學生的數學學習，只有深入“建模”的意義，才能稱得上是一種真正的、有深度的數學學習。

一、橫向數學化——引導原型轉化

數學化這一術語是由荷蘭著名的數學教育家弗賴登塔爾提出的。弗氏將數學劃分為“橫向數學化”（水平數學化）和“縱向數學化”（垂直數學化）。所謂“橫向數學化”，是指“從現實世界引向符號世界”。所謂“縱向數學化”，是指從數學的符號到數學的概念，是一個抽象化、形式化、公理化的過程。這個過程也是一個知識的深化過程。如何促成學生經歷橫向數學化呢？筆者認為，教師要引導學生注重對生活原型的轉化。

小學數學是一種質性數學，或者說是一種生活數學。從生活中汲取教學的素材、資源是數學教學的應有之義。作為教師，可以創設生活化的現實情境，引導學生經歷從生活實際問題抽象成數學問題的過程，這就是橫向數學化的過程，也是生活原型的轉化過程。比如教學“分數的初步認識（一）”（蘇教版三年級上冊）時，教師就應當從學生的生活世界之中取材。因為，分數的概念是抽象的，如何讓這種抽象化的分數概念變得形象起來、直觀起來，從生活世界出發是唯一的出路。筆者在教學中，借助學生生活世界中的“分蛋糕”等這樣一個對學生極為有意義的“事件”，引導學生認識“半個”，逐漸過渡到“ ”“ ”等。在此基礎上，用一個個不同大小的圓圓的、方方的紙片作為“蛋糕”，引導學生操作，比如將蛋糕平均分成三份、四份，表示其中的一份等。在這個過程中，學生能夠深刻地認識到：盡管每個蛋糕的大小不同、形狀不同，但由于平均分的份數相同，因而每份所表示的分數就相同;而盡管兩塊蛋糕的大小、形狀相同，但由于平均分的份數不同，因而每份所表示的分數就不同。這樣的認識，自然促成學生舍棄了一些操作的非本質屬性，形成對數學的本質屬性的認知，進而獲得一種數學化感悟，即分數與平均分的份數和表示的份數有關。

數學化是人們運用數學的方法觀察現實世界、分析研究各種具體現象并邏輯地組織材料發現規律的過程。橫向數學化，讓數學與生活無縫對接。學生不再是機械地、被動地接受知識，而是主動地、靈動地建構新知。橫向數學化有助于激發學生主動思考、探究。當學生從生活世界中厘清問題的本質，洞察數學與生活的本質關聯，找到解決問題的方式方法時，也就實現了有意義學習的關鍵一步。

二、縱向數學化——深化建模體驗

將生活實際問題轉化為數學問題之后，教師就必須引導學生運用數學的方法進行抽象處理，這就是“縱向數學化”。縱向數學化，能夠深化學生對生活建模的體驗。通過縱向數學化，能夠實現學生認知心理結構從不平衡轉向平衡，這個過程伴隨著認知同化與認知順應。所謂“同化”，是指新知被學生原有認知結構所吸納;所謂“順應”，是指原有認知結構不能接納新知，因而原有認知結構就必須發生一些改變，從而讓認知結構從不平衡走向平衡。

在縱向數學化的過程中，教師要幫助學生搭建從直觀、形象走向抽象的橋梁，幫助學生建立數學化的思維方式，滲透數學的思想、方法等，從而讓學生的數學化活動不斷走向深入。比如教學“用數對確定位置”（蘇教版四年級下冊），筆者運用課件，設置了一個“打地鼠”的游戲活動。活動分為三個層次展開：首先是讓學生在一個方向上間隔一定的距離去尋找地鼠;在學生建立了方向、距離等概念之后，游戲開始升級，從“一維直線”過渡到“二維平面”。然后，狡猾的地鼠不再在一條直線上躲躲藏藏，而是進入了一個平面內。如何在平面內確定地鼠的位置？相比較于在直線上確定位置，平面內確定位置不僅范圍更大了，而且更為重要的是刻畫的元素增多了。由此，學生自然想到了從“行”和“列”兩個方向、兩個維度去表達、刻畫位置。通過這樣的教學，學生確定位置的素養自然得到生長。在此基礎上，游戲繼續升級，狡猾的地鼠從平面轉向了空間，我們又該如何確定地鼠的位置呢？我們又應該從哪幾個方向來精準刻畫、定位地鼠的位置呢？通過這樣的設計，逐步引導學生經歷縱向數學化。學生精準刻畫、定位一個物體的位置從點到線、從線到面、從面到體，逐漸深刻地認識到“用數對確定位置”的方法，建立了“在平面內用數對確定位置”的數學模型，并且猜想在空間中“用數對確定位置”的數學模型。縱向數學化，讓學生的數學認知不斷深入，讓學生的數學思維不斷被激活，讓學生的數學想象力得以延伸、拓展。在這個過程中，學生的數學活動經驗得到了發展，數學學習力得以提升，數學核心素養得以發展。

縱向數學化，關鍵是建立學生的數學思維方式。小學生由于年齡和心理特征的制約，其觀察事物、思考問題往往只觀其表、不析其里。縱向數學化就是要引導學生主動探究，從而幫助學生習得數學的思想方法。在這個過程中引導學生由此及彼、由表及里、去粗取精、去偽存真的過程。在數學建模過程中，教師可以引導學生分析問題、解決問題，滲透數學的思想方法。

三、縱橫數學化——完善建模過程

在學生數學學習中，橫向數學化與縱向數學化往往是交織在一起的，構成了縱橫數學化的過程，縱橫數學化有助于完善學生的數學建模過程。在數學化的過程中，教師要引導學生反思，讓學生感受、體驗數學化的意義和價值，促成學生數學建模思想的形成。反思是一種思考，是一種對數學知識形成過程的審視、檢視。

在建構數學知識的過程中，學生可能對數學思想方法、數學建模過程還沒有形成自覺的意識。通過反思，學生對數學知識能進行有效地識別，學生的數學建模能夠走向自覺。教學中，教師要引導學生進行理性推理，從而深入地理解數學知識的本質。數學建模，首先源于直覺，而后是主動探究、嘗試證明、反復驗證，這個過程必然涉及縱橫化的綜合數學化。比如教學“成正比例的量”（蘇教版六年級下冊），我們從學生生活世界中紛繁復雜的數量關系入手，引導學生認識，在其中一個量不變化的情況下，另外兩個量的變化關系。諸如“單價不變的情況下，總價隨著數量的擴大而擴大;數量不變的情況下，總價隨著單價的擴大而擴大”。通過計算兩個變量即數量與總價或者單價與總價之間的比值就是商，學生自主建構了正比例的量，認識了數量與總價、單價與總價之間的正比例關系。在此基礎上，學生對這一系列數量關系進行正比例的考量、考察。通過對諸多成正比例的量的關系的概括、抽象，學生用符號來將這種復雜的正比例關系確證與表征出來，形成了簡約化的正比例關系式，建構了簡約化的數學模型，即“k= （k一定）”。不僅如此，在教學“成反比例的量”時，學生自然就能循著正比例的學習經驗，依托正比例的探究流程，建構反比例的知識意義。不僅如此，學生還能積極、主動地將“成正比例的量”與“成反比例的量”進行對比，認識到它們的共同點和差異，從而深化學生的數學認知。在縱橫數學化地數學建模過程中，教師要培育學生數學化的眼光，培育學生概括化的能力，培育學生應用化的素養。

通過縱橫數學化，引導學生完善建模過程，不僅要豐富“模”的生活化積累，更要引導學生經歷“型”的獲得過程的感悟。只有引導學生建構數學模型、應用數學模型、延伸和拓展數學模型，才能讓學生的數學建模過程不斷走向完整、走向完善。數學建模要避免抽象的“形而上”、空洞的“形式化”，引導學生經歷完整的、豐盈的數學建模歷程。

東北師范大學史寧中教授說道：“數學的基本思想有三大類：抽象、推理和模型。建構數學模型不是讓學生進行呆板的記憶，而是促進學生靈動地感悟、理解。”教學中，教師要增強學生的“模型意識”，讓學生感悟“模型思想”。數學模型的誕生過程表征著學生對數學知識的“再創造”，表征著學生經歷了生動的“數學化”過程。數學建模的過程是數學與生活雙向互動的過程。通過數學建模，學生對數學知識的模型建構從“量的積累”走向“質的飛躍”！