以學定教，先學后教，打造高效課堂

何敬房

[摘? 要] 為了培養學生的自主學習能力、探究能力，讓學生更自信地投入數學學習中，有效地提高課堂效率，文章本著以學定教，先學后教的研究思路，以一元二次方程整數根的求解為例，針對學生的解題亮點和不足，探討如何打造高效課堂.

[關鍵詞] 高效課堂;數學學習;先學后教

教材分析

本節課是北京版第十六章一元二次方程中的第十課時，能根據實際題目解決一元二次方程的整數根問題. 這類問題涉及的知識點較多，思維的要求也較高，所以難度比較大，學生們往往望而卻步. 本節課的重點和難點是整數根的討論問題.

學情分析

1. 知識背景分析

學生已在小學學過分數、因數等概念，含有字母系數的一元二次方程的解法已訓練，分式加減運算都能熟練掌握.

2. 認知難點分析

分式加減逆運算.

教學目標

能熟練求出一元二次方程的整數根.

教學過程

（一）精選習題，學生板演（10分鐘）

教師指定四名學生上黑板做題. 設計3道習題：

1.已知關于x的一元二次方程x2-6x+k+3=0有兩個不相等的實數根，

（1）求k的取值范圍;（2）若k為大于3的整數，且該方程的根都是整數，求k的值.

2.？搖已知關于x的一元二次方程x2+2x+k-2=0有兩個不相等的實數根，

（1）求k的取值范圍;（2）當k為正整數，且該方程的根都是整數時，求k的值.

3.關于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0有兩個實數根，

（1）求m的取值范圍;（2）當m為何整數時，此方程的兩個根都為正整數？

其中第一題與第二題相似，由兩位學生（思維慢、程度較差）完成;第三題稍微有些難度，也由兩位學生（思維中等、程度較好）完成，與此同時要求臺下的學生完成第一題和第三題.

（二）教師講評，總結規律（25分鐘）

講師講評分為兩部分，亮點部分和不足部分. 其中關于亮點部分，教師要大力肯定，大力表揚，使孩子們有愉悅的心情，激勵學生奮發向上，越來越喜歡數學. 關于不足或者錯誤的地方，教師要傾聽學生的不同心聲，讓黑板上板演的孩子說出自己的想法或困惑，教師找合適的切入口將復雜、深刻的知識口語化、簡單化，即將生硬的數學知識講得通俗易懂.

對于一二題，學生的亮點：能清楚理解判別式Δ與根的情況;基本步驟規范，分類思想應用比較扎實. 學生的不足及改進地方：整數根與Δ是否被開方開盡或開不盡之間的關系不清楚. 第一題中，當k=4時，Δ=24-4×4=8，所以± =±2 ，故直接舍去;第二題中，k=1時，Δ=-4×1+12=8，直接舍去. 這樣極大地節約了解題的時間. 計算最終結果未化簡徹底，x = =3+ ，遇到計算題時，還需謹慎對之.

教師問題1：為什么需要把k=4，k=5分別代入方程求解？

學生1答：因為代入后求出結果容易看出來該方程的根是不是整數根. 如果不是就舍去，如果是就保留.

學生2答：可以分別代入，但是如果按照老師講的，先求出判別式的平方根，如果平方根是帶有根號的無理數，那方程的根肯定不是整數，所以直接舍去就可以了，這樣至少會節約2分鐘時間.

教師點撥：復習一下無理數、有理數的概念以及整數的分類，將知識系統化.

實數有理數整數正整數零負整數？搖 分數正分數負分數？搖 ？搖? ？搖

教師問題2：x = 為什么需要約分？

學生3答：因為x = 不是最簡形式，分子分母有最大公因數2，所以要化成最簡.

教師點撥 復習因式分解的基本步驟，分數、分式約分解題技巧.

因式分解的基本步驟：一提（提取公因式），二套（完全平方公式、平方差公式），三化簡（最簡形式）. 分數分式約分解題技巧：系數部分尋找各系數的最大公因數，字母部分尋找相同字母的最低次冪.

對于第三題，學生的亮點：能清楚理解判別式Δ與根的情況;基本步驟規范，分類思想應用比較扎實，尤其是通過分子分母變形分離，將問題只研究一處（分母中含有字母）變化，思路非常好. 學生的不足及改進地方：一元二次方程首要限制條件二次項系數不為0，即m-1≠0忘記先寫. 整數化簡時，未寫等號（對于代數式的化簡記憶模糊）. 教師在課堂巡視時，發現不少學生對 不知如何處理. 教師重點講解本部分，因為對于 分子、分母都含有變量m，故研究起來比較復雜，如果用試驗法，無窮下去試驗，不僅浪費時間，而且缺少數學思維要求的邏輯嚴密性，所以固定分子，研究分母變化即可. 因為 = = + =1+ ，又方程的兩個根都是正整數，所以 是正整數，所以m-1=1或2，所以m=2或3.

教師點撥 掌握分數與分式的關系;掌握分式加減運算的逆用.

由于分數和分式具有類似的形式，因而也具有類似的性質和運算，重視化歸思想的滲透. 比如 這是一個分式，求這個分式為正整數且m也為整數時的m的值.

分數角度：2÷m商為正整數→m為除數→2為被除數，即商與除數的乘積→m=1，m=2.

分式角度： 正整數→m為2的因數→2的因數為1和2→m=1，m=2.

分式加法：1+ = + = + = .

變式一： = = + =-1+ .

變式二： = = - =2- .

通過 ， ， ， ，讓學生感受因數的意義以及以分母為參照物改變分子的解題技巧在這類習題中的應用體現.

（三）小結梳理？搖學生記憶（5分鐘，PPT展示）

1. 無理數、有理數的概念以及整數的分類;

2. 因式分解的基本步驟，分數、分式約分;

3. 分數與分式的關系，分式加減運算逆用.

總結評價

本節課的目的是向學生傳達一元二次方程整數根的解法步驟，并理解相關的數學知識，教學內容看似簡單，但如不能合理處理教學中的幾個問題，很容易導致學生在學習過程中思維停滯. 通過學生先學先練，教師再教的步驟，使學生親身體驗，親自投入，讓學生真正地思考起來，真正地動起來，感受解題的過程和思路，體會知識的運用，由此發揮學生的主體性. 在不足之處，教師在課堂教學過程中處理好新知與舊知的聯系，利用不足之處的問題來驅動教學展開，引導學生充分理解相關知識間的聯系，理解化歸思想在解決此類問題中的本質. 學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數學的重要方式. 教師應創造機會，讓學生有足夠的時間和空間經歷計算、推理、驗證等活動過程，由此達到教學目的，打造高效課堂.