導數(shù)在函數(shù)中的應用：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

周淑文

【摘要】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問題是高中數(shù)學中的重要問題，也是高考數(shù)學研究的熱點。在高中數(shù)學函數(shù)應用中，利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題也是學生對于函數(shù)問題頭疼的問題， 文章通過利用導數(shù)在函數(shù)中的應用，強調(diào)了導數(shù)的重要性。

【關(guān)鍵詞】導數(shù);函數(shù);應用

引言

隨著科技和經(jīng)濟的不斷發(fā)展，人們對于教育的重視程度也在不斷加強，而數(shù)學是關(guān)乎學生高考成敗的關(guān)鍵科目。教育部門目前也提出了教育教學改革的新的標準。作為一門基礎性的課程，函數(shù)是高中數(shù)學課程的重點和難點知識，學生在高考時數(shù)學的失分在函數(shù)的部分也占來很大部分的比例，高中函數(shù)部分的內(nèi)容具有抽象性，所以學習起來會比較困難。因此，在高中數(shù)學的教學過程中，作為教師，要在對于知識可以融會貫通的基礎上，可以借助一定的教學方法，可以更透徹，更快的掌握有關(guān)導數(shù)、函數(shù)的相關(guān)知識，本文就導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，極值等做了相關(guān)闡述，以此對函數(shù)的教學方法進行進一步的研究。

一、教學過程中提高數(shù)學思想的重視

數(shù)學思想的充分運用主要是建立在學生對于函數(shù)的基本知識充分利用的基礎上，包括導數(shù)和函數(shù)的定義，概念等。比如，在講授函數(shù)的零點知識時，可以將數(shù)形結(jié)合和函數(shù)與方程的數(shù)學思想等相互關(guān)聯(lián)，在理解函數(shù)零點的前提之下，還要求學生們將函數(shù)零點理解為方程的解，同時，也可以理解為求函數(shù)的交叉橫坐標。同時，在后期學習過程中，在可以用到函數(shù)零點的地方，都可以隨時運用[1]。

數(shù)學課程的學習在于多學多練，雖然導數(shù)，函數(shù)的定義看似簡單，但是涉及到題目時，學生還是會無從下手。因此，充分利用數(shù)學思想是數(shù)學學習的有效方法[1]。

數(shù)學思維的建立，是學生對于數(shù)學更深一步學習的一塊墊腳石，建立數(shù)學思維，有助于學生思維的擴展，提高思維轉(zhuǎn)換能力。借助于數(shù)學思維，可以幫助學生在解決實際問題充分利用數(shù)學知識，從多方面，多個角度去思考問題，提出更多更有效的解決辦法[2]。

二、充分重視對于概念知識的教學

函數(shù)的學習方法基本以兩種為主：一般到特殊和特殊到一般。從一般到特殊地學習方法，就是先講解函數(shù)，導數(shù)的基本概念，然后通過對于函數(shù)與函數(shù)變量的關(guān)系，讓學生充分認識函數(shù)的定義域，值域之間的相互關(guān)系，通過一步步地銜接，讓學生對于函數(shù)的性質(zhì)可以更好地理解。從特殊到一般的方法是，教師通過教學授課，使學生在牢固掌握初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等的基礎之上，再學習函數(shù)的概念，進一步學習函數(shù)的性質(zhì)，為高中階段學習的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等其他函數(shù)打下基礎[2]。

三、多關(guān)注理解能力較差學生

理解能力稍弱的學生對于學習的畏懼心理會更強烈，尤其是對于數(shù)學，教師要利用多年的教學經(jīng)驗，讓這些學生也能逐步理解導數(shù)，函數(shù)等相關(guān)的知識點。

四、利用導數(shù)求解函數(shù)性質(zhì)問題

導數(shù)作為函數(shù)學習的開端，在函數(shù)學習中的作用也是不可言喻的，下面將利用導數(shù)求解函數(shù)極值、單調(diào)性、最值等一一做一個介紹。

（一）利用導數(shù)判斷單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性也是函數(shù)中重要性質(zhì)之一，利用導數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性可以利用拉格朗日中值定理求解[3]。拉格朗日中值定理內(nèi)容 ：函數(shù)f（x）在在區(qū)間[c d]內(nèi)連續(xù)，（c d）內(nèi)可導，一定可以找出一點q，使得等式f（q）= 成立，從而可以借助導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性。

注：本例可以看做是要求復合函數(shù)方程的求解單調(diào)區(qū)間的問題，要快速準確的解決這個問題，就要培養(yǎng)學生們的一個習慣，那就是看到這種問題先確定復合函數(shù)的形式，并寫出，這要求學生對于函數(shù)與復合函數(shù)要較為熟悉，其次在根據(jù)復合函數(shù)的定義域，逐步去尋找解題思路。在此過程中，要從內(nèi)至外，以此求解，直到最終求得外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在解題過程中，就是要培養(yǎng)學生這種將問題簡單化的思維。

（二）利用導數(shù)求極值

極值只是與極值點左右兩邊接近的函數(shù)值進行相比，得出的一個數(shù)值，求極值時，可以借助導數(shù)先研究函數(shù)的駐點和單調(diào)性，最后求極值[3] 。

注：首先區(qū)分極值和最值的區(qū)別，根據(jù)極值的定義知道要求駐點。再看題目中的函數(shù)，把它和方程聯(lián)系起來，可以看做是一個一元三次的方程，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的反映關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)性，然后按照極值的定義求出極值。這里要注意的事解題思路，要把問題轉(zhuǎn)化，要求學生對所學的知識能夠熟練的運用，要講思維發(fā)散開，將問題一步步轉(zhuǎn)化。

結(jié)束語：

綜上所述，導數(shù)的相關(guān)知識，在解決函數(shù)問題中有極大的作用，為研究有關(guān)函數(shù)的問題提供了新的解決途徑。只有教師能夠做好教導工作，學生才能更好學好這一部分知識。因此，高中數(shù)學教師不僅要教學生書本的知識，還有經(jīng)驗，最重要的是思維方式，如何把一個復雜問題簡單化，學會把題目分解，這同樣很重要。

參考文獻：

[1]楊麗.分析導數(shù)在函數(shù)中的應用[J].青年文學家，2009，（4）：158.

[2]何秋霞.例談導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的運用[J].中學數(shù)學，2016，（19）：86-88.

[3]羅先文."函數(shù)的極值與導數(shù)"教學設計[J].湖南教育C，2016，（1）：50-51.2F76D965-F8FA-426D-9F18-8818C98A7004