符號意識觀點下七年級學生非負數認知的易錯點及對策

廖怡寧 韋宏 鄧清

【摘 要】符號意識是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的核心概念之一，培養符號意識有助于學生抽象概括能力和邏輯思維的發展。七年級非負數的學習中，部分學生對符號本質的理解不透徹，存在用字母表示正數的思維慣性，對復雜問題情境的表征能力較弱，在非負數的解題中容易出錯。本文分析學生的易錯點，從“引入符號史”“關注概念形成”“提高表征能力”三個維度給出對策，以期更好地利用數學符號演變發展深化學生對非負數的理解，提高學生的解題能力。

【關鍵詞】符號意識;七年級;非負數

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0250-02

“符號意識”是一個核心概念，《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，培養學生的符號意識，有助于學生對符號的意義、算法進行理解，并能用較為簡潔、清晰、準確的數學符號來對其數學思想進行表達[1]。符號意識是指學習者在思維的引導下，積極主動地對數學知識與數學符號之間的抽象關系進行認知的心理活動。張奠宙教授認為“symbol sense”的實質是數量意識和符號意識，即學生在學習中運用數量的意識，進一步對事物發展的數量規律進行觀察，且善于用符號來表示和運

算[2]。朱立明教授指出，學生不僅要經歷用數學符號進行運算和推理的過程，還需明白運算和推理背后所蘊含的道理，這就要求在數學課程中形成學生的數學符號意

識[3]。根據奧蘇泊爾有意義學習理論，學生對符號所代表的新知進行同化需要從已有的認知出發，構建新舊知之間的聯系。符號意識的發展，是學生長期的學習經驗積累的結果，與學生的認知發展和學習情境有著密不可分的聯系。因此，培養學生的符號意識，有助于提高學生的數學理解力。

1 ? 滲透符號思想，培養符號意識

非負數是指在實數范圍內，包含著所有的正數和零。七年級學生學習的非負數有絕對值、算術平方根、平方數等表現形式。絕對值是指若 a 為任意實數，其中正數的絕對值是其本身，零的絕對值是零，負數的絕對值是其相反數。在解決絕對值問題時，易錯點集中在去絕對值符號時，學生未全面考慮字母的取值，究其原因，是學生對絕對值符號表示的意義存在理解偏差，從而影響學生系統有序地解決問題。算術平方根指在實數范圍內，若a是一個非負數 x 的平方，即 x2=a ，那么 x 是 a 的算術平方根。根號中被開方數 a 是非負的，其算術平方根也是非負的，可表示為a ≥ 0。而在求解時，由于對根號所表示的深層意義理解不透徹，即算術平方根的雙重非負性（a ≥ 0），學生僅理解算術平方根的表層意義，在千變萬化的應用情境中易出現解題錯誤。平方數是指可以寫成某個整數的平方的數。在平方數的學習過程中，學生易注重它的運算操作，忽視它的表征意義。相對于小學的學習，初中學段的內容逐漸由算術向代數過渡，對數的學習逐漸提升到一般化水平，用符號表示數也是數學學習一般化、形式化階段的開始。對于七年級學生，由于數學符號的增加，他們常常會對抽象符號的本質理解不透徹。因此，培養學生符號意識，需在非負數的教學中揭示數學符號表示的過程，幫助學生明確各個符號的內涵。下文將基于符號意識觀點分析七年級學生對非負數的易錯認知，并給出相應對策。

2 ? 符號意識下非負數的易錯分析

2.1 ?對抽象符號本質理解不徹底

在七年級非負數的學習中，難點在于透過符號理解其所表示的相關概念與性質。在數學符號的理解上，大部分學生僅理解符號所表示的形式意義，未能理解數學符號的本質意義。如在求解“|?5|”“|2a|”這樣直觀的數時，學生解題思路較為清醒，但碰到如“|a?b|”、求“|2a+5|+|2a?5|”的最小值這樣含有多項的題時，學生無法直觀地判斷絕對值的確切值，便難以得到運算結果。因此，當絕對值里面是單項式或是多項式時，學生無法確定絕對值符號里復雜的數或式子仍然是表示非負的。絕對值的學習是一個從特殊到一般、由簡單情境到復雜情境的過程，學生由于未能透徹理解絕對值符號的非負性本質，在復雜情境中去絕對值符號時易出現錯誤。

2.2 ?對數的具體化產生思維慣性

七年級學生思維正處于由小學學段的算術思維向初中學段的代數思維的過渡階段。如“?”在小學是一種運算符號，在減法運算中會用到。進入七年級，有理數學習中，“?”既是運算符號又是性質符號。在小學學習用字母表示正數，在初中非負數學習中，則用“+”“?”進行正負數的表示。而一些學生在頭腦中形成了用字母表示正數的思維慣性，如a是正數，?a是負數。這種思維慣性會影響學生對算術平方根的應用，導致他們解題時易出錯。

2.3 ?對復雜問題情境表征能力較弱

數學符號的學習其實是學生對數學問題情境予以表征而進行邏輯推理，并通過運算將符號代數式化為確定的最簡結果的過程。無論是符號的推理或是符號的運算，都是建立在數學符號意識的基礎上。解決實際問題通常需同時使用數學推理和運算。如在給定的情境中理解數學符號與指代事物的對應性，建立對單個數學符號的清晰認知，進而得到數量關系，但一些學生遇到多個數學符號時容易產生認知模糊。如對“|?5|”，學生都知道如何進行運算，但在對“|2a?b|”的值進行計算時或者在多個數學符號的復雜情境中，一些學生由于問題表征能力較弱容易出錯。

3 ? 符號意識下非負數的教學對策

3.1 ?引入符號史，加強概念理解

對七年級學生來說，所學的數學符號較為抽象，但是每一個數學符號都有著悠久的演變發展史，都代表著數學符號的意義和發展過程。因此，教師可在教學中引入數學符號的歷史，賦予枯燥的符號鮮活的人文歷史氣息，調動學生學習的熱情。如在課堂中引入有關符號發展演變史來介紹絕對值概念：1841年，有一位德國數學家，名為外爾斯特拉斯，用“| |”來表示“絕對值”，他是歷史上最早使用“| |”絕對值符號的人。1905年，數學家甘斯用符號“| |”表示向量的長度。通過對數學概念的歷史介紹，學生能了解數學符號的發展不是一蹴而就的，而是數學家不斷分析、探索逐漸演變而來的。在此基礎上，教師還可引入絕對值的定義，并做出解釋，指導學生結合絕對值定義進行解題。如對于“|a?b|”，先根據a、b的取值來判斷“a?b”的大小，再按照定義去絕對值符號。通過引入數學史和對概念的具體解釋，有助于深化學生對概念的理解。除此之外，符號史的引入還可通過引導學生利用App觀看有關專題的數學史知識、利用網絡搜集閱讀相關資料的形式完成，強化學生對數學符號的認知，使學生從本質上理解看似抽象實則簡易的數學符號。

3.2 ?突破思維慣性，關注形成過程

符號意識的培養形式在小學與初中兩個階段是不同的。課程標準具有分段性，但在學生符號意識的培養上是連貫的。初中生的思維正處于從算術層面向代數層面轉化的過程中，而符號是區分代數與算術的主要特征。教學中，首先，要通過讓學生更充分地認識到字母不僅可以表示0、正數、負數，還可表示含有字母的式子，打破學生頭腦中字母只代表正數的思維慣性，避免學生出現計算錯誤。其次，要著眼于未來，符號是不斷演變的，要使學生感受到用字母a表示數的變化過程，經歷用字母a代表正數到初中代表有理數、實數再到單項式、多項式的過程。在小學學段，不僅要加強學生對數學符號的理解，還需為學生創建符號情境，讓其在情境中感受符號、獲得符號學習體驗。在中學階段，則需開展循序漸進的教學，突破學生的思維慣性。

3.3 ?提高表征能力，培養符號意識

一些學生學習非負數時，對自己做過、教師講解過的習題能夠快速做出反應，并有解題思路，正確解題，而對于情境陌生的習題，則難以下手。對此，教師需要引導學生自主探究解題思路，使學生在梳理解題思路的過程中學會運用符號在具體情境中建立數量關系，解決問題。如在“絕對值”教學中，除要求學生絕對值求值之外，教師還可以適當提出變式練習，讓學生思考，通過由淺及深的練習加深學生對概念的理解，培養學生對復雜問題進行表征的能力，進而使學生有效解決問題，培養學生的符號意識。

新課標提出培養學生符號意識，有助于提高學生對符號意義的理解，使其理清算法、算理。在非負數的學習中，部分學生對符號的本質理解不透徹，一些學生有用字母表示正數的思維慣性且對復雜問題情境進行表征的能力較弱，他們在非負數的解題中容易出錯。本文分析七年級學生非負數學習的易錯點，從引入符號史、關注概念形成、提高表征能力三個維度給出對策，以期利用數學符號幫助學生對非負數形成正確理解，使其更好地把握數學問題，以數學符號構建數學模型，增強符號意識。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]朱立明.義務教育階段學生數學符號意識分析層次的構建[J].數學教育學報，2019（2）.

【作者簡介】

廖怡寧（1998～），女，漢族，湖南邵陽人，南寧師范大學數學與統計學院2020級碩士研究生。研究方向：學科教學（數學）。

韋宏（1968～），男，漢族，廣西上林人，理學碩士，南寧師范大學數學與統計學院副教授，碩士生導師。研究方向：學科教學（數學）。

鄧清（1998～），女，漢族，廣西玉林人，南寧師范大學數學與統計學院2020級碩士研究生。研究方向：學科教學（數學）。