例析關于證明不等式的一種圖表法

廖遠萍

【摘要】本文運用T·施勒伊費爾在《關于證明不等式的一種圖表法》里所提到的圖表法，對某些不等式做了進一步的推廣

【關鍵詞】圖表法;均值不等式

眾所周知，不等式的證明方法有非常多，作差法、作商法、放縮法、整體代換法，數形結合法……數不勝數，令人嘆為觀止。這一方面體現了數學的精巧，另一方面卻為教學帶來了一定的困難。因此，我們在向學生教授不等式的各種技巧時，一方面要展現不等式的多種技巧，另一方面應盡可能地教給學生一些易于掌握而且適用范圍比較廣的方法。

蘇聯數學教育家T·施勒伊費爾所給出了關于證明不等式的圖表法就是這樣的一種具有普遍性的方法。T·施勒伊費爾運用這種方法推廣了Cauchy不等式、Holder不等式和冪平均不等式等諸多結果。之后，在2005年，王亞輝和王亞紅應用這種方法對數學競賽中出現的諸多不等式問題做了很多的討論。在2009年，王增強在考慮不等式，，其中a，b，c∈R+且a+b+c=1，也使用了T·施勒伊費爾的方法。

本文旨在運用該方法對近年來中數研究中出現的幾個不等式做一些討論。為方便閱讀，我們先重述T·施勒伊費爾在《關于證明不等式的一種圖表法》中關于圖表法的介紹：

約定A=A（a1，a2，…，an）與=（a1，a2，…，an）分別表示非負實數a1，a2，…，an的算術平均數與幾何平均數。

定理1：設由n行k列組成的長方形表中，全部填寫著非負實數：第一行填寫a1，a2，…，a1n，第二行填寫a21，a22，…，a2n，……，第k行填寫ak1，ak2，…，akn.在每一行中，計算它們的幾何平均數并分別用來表示它們。其次，在每一列，計算它們的算術平均數并分別用來A1，A2，…，An表示它們（表1），則有。

下面，我們運用這個定理對幾個不等式做進一步的推廣：

定理2：設n是一個自然數，x1，x2，…，xn=1為正實數且x1x2…xn=1.則.

證明：在n×n的長方形表格中填數如下：

令. 則由定理1得從而，由均值不等式有，于是.

又因為，所以.

因此.

證畢。

令n=3，則有：

推論1：（第39屆IMO備選題） 已知x，y，z為正實數且xyz=1， 求證

定理2：設n是一個自然數，x1，x2，…，xn為正實數且x1，x2，…，xn=1. 則

.

證明：在的長方形表格中填數如下：

令 則由定理1，有由定理1以及，有.

于是

因此.

證畢。

令n=3，則有：

推論2：（第二屆友誼杯國際數學競賽） 已知a，b，c為正實數. 求證

.

定理3：設是一個自然數， 為正實數. 則

證明：在n×n的長方形表格中填數如下：

令則由定理1， 有

于是

因此

證畢。

令n=3，則有：

推論3：（2000年加拿大數學奧林匹克試題） 證明：對任意正實數，均有

定理4：設n是一個自然數， x1， x2，…，

xn， xn+1， 為正實數且x1， x2，…xn=1， xn+1=x1則

證明：在的長方形表格中填數如下：

由定理1，有

因為x1，x2，…xn=1，所以有

因此

證畢。

令n=3，則有：

推論4：設x，y，z為正實數， 且xyz=1. 則（x+2y）（y+2z）（z+2x）≥27.

最后，為了進一步說明該方法的實用性，我們來看一些熟知的例子：

例1：設是一個自然數， x1，x2，…，xn+1為實數且x1=xn+1. 則

證明：在的長方形表格中填數如下：

令則由定理1， 有

于是A≥B.

即

證畢。

例2：設ai，bi為正實數（i=1，2，...n）且. 求證：.

證明：在n×2的長方形表格中填數如下：

由定理1，有

即

又因為， 所以

證畢。

例3：求證： ， 其中a，b，c，為的三邊。

證明：因為a，b，c，為△ABC的三邊， 所以c+b-a，a+c-b，a+b-c，a，b，c，都為正實數。

在的長方形表格中填數如下：

則由定理1，有

兩邊平方，得

證畢。

由上述的證明，我們可以知道我們將問題不斷地有一般到特殊，由復雜到簡單，由概括到具體，層層遞進，讓學生感受了數學的精巧以及數學的邏輯思維的巧妙。

鑒于我校數學基礎比較薄弱，學生的基礎知識不是那么拔尖，我們的這個關于不等式的圖表法的若干應用，主要是設想用于學校的綜合實踐的課堂中使用。主要是選拔一部分數學愛好者集中一起探討，會更加適合。同時，豐盈了教師對數學研究的成就感，讓愛好數學的師生們一起愉快進步。

最后，筆者將不斷地調整關于不等式的圖表法，用更通俗易懂的方法，將復雜的事情簡單化，由淺入深，由一般到特殊，由特殊到一般，將課題研究得更加接近現在初中生的學習水平。

參考文獻：

[1]Φ·T· 施勒伊費爾.關于證明不等式的一種圖表法[J].王玉懷，譯.數學通報，1987（10）.

[2]王亞輝，王亞紅.應用均值不等式的推廣證不等式[J].數學通報，2005（12）：35-37.

[3]謝躍進.柯西不等式應用探討[J].銅仁職業技術學院學報，2008（12）：59-61.

[4]陳唐明.也談利用柯西不等式及其推論證明不等式[J].中學數學研究，2008（10）：39-40.