高中數學導數的解題應用

摘 要：在高中數學的學習當中，導數可以說是一個非常重要的內容，它在函數方面的解題時有著非常大的幫助，尤其是在一些單調性的問題上、函數極值的問題上、函數圖像的問題上，導數都有著獨特的解法.教師在進行導數知識的教學時，就需要聯系實際的例題來幫助學生去理解導數的知識點，懂得如何應用導數來

解題.

關鍵詞：高中數學;導數;解題應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0054-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：黃龍孫（1985.11-），男，江西省撫州人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

一、利用導數求極值問題極值問題一般在考察時就是對導數知識進行考核，如果不利用導數進行求解，那么極值問題就會變得十分困難，學生在解題時也會很浪費時間.在導數的應用下，學生可以輕松地判斷出函數圖像的變化趨勢，然后根據一些特殊的點來判斷出極值點，最后解決極值問題.

例1已知函數fx=x-1+aex，（a∈R，e為自然對數的底數）.

（1）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值;

（2）求函數f（x）的極值.

解析

（1）由fx=x-1+aex，得：

f ′x=1-aex，

又曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，得：f ′（1）=0，即1-ae=0，解得：a=e，

（2）由（1）知f ′x=1-aex，

①當a≤0 時，f ′x>0 ，

所以f（x）在（-SymboleB@，+SymboleB@）上是增函數，所以函數 f（x）無極值.

②當a>0時，令f ′x=0，

得ex=a ，即x=lna.

所以當x∈-SymboleB@，lna時，f ′x<0

當x∈（lna，+SymboleB@）時，f ′x>0

所以f（x）在-SymboleB@，lna上單調遞減，在（lna，+SymboleB@）上單調遞增，

故f（x）在x=lna處取得極小值，且極小值為flna=lna，無極大值.

綜上所述：

當a≤0 時，函數無極值;

當a>0時，f（x）在x=lna處取得極小值lna，無極大值.

二、利用導數推導函數圖像

圖像是函數學習的難點，它也是學生學習時抽象性最大的問題，很多學生都無法理解圖像的意義，尤其是在推導函數圖像時，像一些高次冪的函數學生根本無法畫出圖像，在導數的幫助下，學生可以計算出圖像的變化規律，從而能夠根據間斷點來大致的區分函數圖像.

例2 設函數f（x）在定義域內可導，y=f（x）的圖像如圖1所示，則導函數y′=f ′（x）的圖像可能為

（）.

圖1

解析 觀察原函數圖像可以得到：當x∈（-SymboleB@，0）時，函數f（x）單調遞增，所以能夠判斷出在x∈（-SymboleB@，0）時，f ′x>0，故選項A和C排除，在選項B和D中選擇;根據原函數圖像在（0，+SymboleB@）中的單調區間，可以分析出：函數圖像先遞增后遞減，最后又呈遞增趨勢，根據導數幾何意義，可以推導出f ′x的圖形趨勢為：f ′x圖像先處于x軸上方，在處于x軸下方，最后又處于x軸上方，根據選項內容可以分析出：選項B錯誤，選項D正確.

三、導數綜合應用題

導數的綜合應用題一般難度都會比較大，但是在如果學生對函數的基本知識有著較高的熟練度，那么這種類型的第一題學生都可以輕松地計算出.對于第二題來說，它就需要學生能夠熟練的應用導數知識點來進行分析，可以正確的進行求導，然后根據題意找到正確的解題思路，從而能夠逐漸的計算出正確的答案，促進學生的正確率.

例3某種產品每件成本為6元，每件的售價為x元（6

（1）求年銷售利潤y關于售價x的函數關系式;

（2）求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤.

解析 （1）設5858-u=k（x-214）2，因為售價為10元時，年銷量為28萬件，所以5858-28=k（10-214）2，解

得k=2.

所以u=-2（10-214）2+5858=-2x2+21x+18.

所以y=-2x2+21x+18x-6=-2x3+33x2-108x-108（6

（2）先對函數y求導，得：

y′=-6x2+66x-108=-6x2-11x+18=

-6x-2（x-9）.

令y′=0，得x=2或x=9，根據x的定義域，x=2舍去，顯然，當x∈（6，9）時，y′>0：當x∈（9，11）時，y′<0.

所以函數y=-2x3+33x2-108x-108在6，9上單調遞增，在9，11上單調遞減.

所以當x=9時，y取最大值，且ymax=135，

故當售價為9元時，年利潤最大，并且最大年利潤為135萬元.總之，導數知識點在高中數學中是非常重要的，教師必須要重視這方面的教學，能夠聯系實際的例題來引導學生進行思考，從而可以讓學生更好的理解導數的知識點，提高在學習時的學習效率.

參考文獻：

[1]張華.淺談高中數學導數的解題方法與策略[J].新課程，2017：55.

[2]姜路燕.高中數學導數的解題方法與策略探討[J].考試周刊，2018：77.

[責任編輯：李 璟]