高中立體幾何“存在型”探索性問題求解策略

摘 要：“存在型”探索性問題是指根據題干所給出一系列特定條件探索一些相對來說不確定的數學問題.這類問題通常存在“是否有”、“是否存在”等問題，讓學生探討有待證明的結論.這類問題重點考察學生對數學理論知識的靈活應用能力，即將數學理論知識靈活地應用到數學問題的解決和分析當中.通過這樣的考察方式逐步提高學生利用數學知識分析和探索問題的數學綜合能力，最終培養學生形成系統的數學理論思想.因此，本文主要從高考中存在的“存在型”探索性問題的求解策略方面進行分析.

關鍵詞：高中數學;存在型;解題技巧

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0052-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：楊帆（1985.3-），男，江蘇省海門人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

一、直接求解

“存在型”探索性問題雖然屬于形式多樣的復雜問題，但其中有些問題與我們所熟知的封閉性的問題相似，對于這類問題在解答時可以引導學生直接從題目所給的已知條件出發，從結果出發推導原因，進行相關的理論邏輯推理從而獲得結論.

例1 已知圖1，在梯形ABCD中，AD平行于BC，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=2AD=4，在AB、CD上分別存在點E、F，并且線段BC平行于線段EF，BC的中點為點G，如圖2所示，先將梯形ABCD沿EF翻折，形成平面AEFD和平面EBCF垂直形式.

（1）若線段AE的長度為2，那么異面直線BD與EG關系如何，是否垂直？證明你的結論.

（2）若線段AE的長度為2，能否求解出二面角D-BF-C的余弦值.

解析 （1）如下圖所示，過點D作DH⊥EF，垂點為H，將BH、GH分別連接，又因為已知平面AEFD和平面EBCF垂直，因此DH⊥平面EBCF，又因為EG在平面EBCF中，因此可得線段EG垂直于DH.

因為線段AE的長度為2，所以BE長度為2，因此線段AE和BE長度相等，因為∠ABC=∠BAD=π2

所以四邊形BGHE為正方形，同時可知線段EG和BH互相垂直.

因為線段BH和線段DH相較交于H，因此線段EG和平面DBH相互垂直.

又因為BD在平面DBH內，所以線段EG和線段BD互相垂直.

（2）如圖3所示，過H點做HM⊥BF，同時連接線段DM.

根據三垂線定理能夠得到線段BF和DM互相垂直，因此∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角.又因為△HMF和△EBF相似，因此HMBE=HFBF，而HF=1，BE=2，BF=BE2+EF2=13，又因為∠DMH為銳角，所以cos∠DMH=1414.

二、假設一推證一定論

同時學生也可以采用假設—推證—定論的方式解決一部分存在型探索性的數學問題.即：先提出一個與題干相矛盾的假設的存在，通過推理得出這個結論不正確最終得出所探索的問題的正確性，或是從正面利用演繹推理的方法證明所探索的問題的正確性.

例2 下圖為正方體棱長為1，BB1、AB的中點分別是M、N，B1C的中點是O，過O作直線OQ，使得OQ交AM于P，交CN于點Q.

（1）能否求出圖中線段PQ的長度;

（2） 無限延展平面A1B，T是平面A1B中的一個不規則動點，T點距離直線DD1與距離P點的長度平方差為1，能否在此情況下嘗試建立一個直角坐標系最終求解出動點T所構成曲線的方程K.

解析 （1）如圖5所示，連接線段MO和CC1，兩條線段相較于點E，連接DE同時將線段DA延長，此時與線段CN相交與點Q，連結線段OQ，使得OQ與線段AM相交于P，則PQ為所求的線，易得MPAP=MOAQ=12.

所以MP=56，在Rt△PMO中，可得到PO=MO2+PM2=146，

故PQ=143.

（2）過T作TE⊥DD，過T作TF⊥AA1，DD1⊥TE，DD1∥AA1，所以AA1⊥平面TEF，故AA1⊥EF，所以EF∥AD.在Rt△TFE中，TF2=TE2-EF2=TE2-1=PT2.由此可得點T的軌跡實際上是以AA1為準線，以P為焦點的一條拋物線.此時可以將以P點到AA1的垂線段的中點作為原點去建立一個直角坐標系.由此可設拋物線的方程y2=2px（p>0）.

由于P點到AA1的距離為23，從而p=23

因此可以得到曲線K的方程為y2=43x.

三、先猜后證

對于一些特征較為明顯的存在性探索問題學生往往可以采用先猜后證的方式進行求解.

例3 如圖7，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為a，側棱長為22a，若經過AB1且與BC1平行的平面交上底于DB1.

試確定點D的位置，并證明你的結論;

解析 由圖中信息我們不難猜測D為AC的中點，此時可以連結A1B，使得且A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點.

因為BC1∥平面AB1D，DE為平面AB1D與平面A1BC的交線，所以BC1∥DE，由此就可以證明出點D確實是為AC的中點.

總而言之，“存在型”探索性問題并沒有學生想象的那么復雜，還有向量法等多種方法都可以應用到立體幾何問題求解的過程當中，本文旨在希望能夠通過分析相關求解思路給廣大學子帶來解題建議.

參考文獻：

[1]陸鵬.高中數學立體幾何的類型和結構特征分析[J].東西南北（教育），2017：173.

[2]朱福文.重溫典型題型 智取高考數學[J].求學（文科版），2015：43.

[責任編輯：李 璟]