向量在高中數學解題中的有效應用

摘 要：向量是高中數學的重要知識點，分為平面向量和空間向量兩大類，常作為解答相關習題的工具.教學中為提高學生的解題能力應注重為學生講解向量在不同題型中的應用，使其掌握相關的應用思路與技巧.

關鍵詞：向量;高中數學;解題;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0046-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：潘敏（1983.11-），男，廣西百色人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

向量在解答高中數學習題中有著廣泛的應用.因高中數學題型靈活多變，應用向量解題的思路千差萬別.為提高學生應用向量解答數學習題的能力，應做好向量基礎知識的講解，本文將結合具體的習題，展示向量的有效應用.

一、用于解答向量習題運用向量知識解答相關的向量習題時應根據問題創設的情境合理的設出相關參數，結合向量的幾何運算、坐標運算法則構建參數之間的關系.同時還應注重聯系所學的函數與方程知識，對問題進行巧妙的轉化，以達到順利解題的目的.如下題：

已知平面向量a、b、c，|a|=|b|=2，若（2c-a）·（c-b）=0，則c·b的最大值為（）.

A.2B.94 C.174D.5

∵a、b、c為平面向量，且|a|=|b|=2，不妨設b=（2，0），a=（2cosα，2sinα）（α∈[0，2π]），c=（x，y），則c·b=2x，將問題轉化為求x的最大值.

∵2c-a=（2x-2cosα，2y-2sinα），c-b=（x-2，y），

又∵（2c-a）·（c-b）=0

∴（2x-2cosα）（x-2）+（2y-2sinα）y=0，

整理得到：y2-ysinα+x2-x（cosα+2）+2cosα=0

要想該方程有解，則

Δ=（sinα）2-4x2+4x（cosα+2）-8cosα≥0，

令t=cosα，t∈[-1，1]，則4x2-4x（t+2）+t2+8t-1≤0，

解得t+2-5-4t2≤x≤t+2+5-4t2.令5-4t=m，m∈[1，3]，則t+2+5-4t2=-（m-2）2+178≤178，

∴x的最大值為178，則c·b的最大值為2×178=174，選擇C項.

二、用于解答三角形習題

運用向量解答三角形相關的習題時不僅要注重向量幾何運算法則的正確應用，而且應注意幾何知識，包括角度與角度的代換，線段與線段的代換，正弦與余弦定理等的靈活應用，以順利破題.如下題：

已知O是△ABC的外心，且A=π3，cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，則m的值為（）.

A.12B.32C.52D.72

∵cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，兩邊同乘以AO，得到：

cosBsinCAB·AO+cosCsinBAC·AO=2mAO2

又∵O為△ABC的外心，

∴AO=BO=CO，設θ1、θ2為AB和AO，AC和AO的夾角，

∴AB·AO=|AB||AO|cosθ1=|AB|22，AC·AO=|AC||AO|cosθ2=|AC|22.

又∵2AO=BCsinπ3，

∴cosBsinCAB2+cosCsinBAC2=4mBC23，

由正弦定理得到：

sin2C×cosBsinC+sin2B×cosCsinB=4msin2A3，

又∵sinA=32，

∴sinCcosB+sinBcosC=m，

∴sin（B+C）=sinA=m，∴m=32，選擇B項.

三、用于解答立體幾何習題

空間向量是解答立體幾何習題的重要工具.利用空間向量解題時為提高運算效率，應注重選擇合適的角度建立空間直角坐標系，而后根據題干給出的已知條件，通過計算準確的找到相關點的坐標，運用空間向量的坐標運算進行求解.如下題：

已知三棱錐A-BCD中，底面BCD為等邊三角形，且AB=AC=AD=3，BC=23，點E為CD的中點，點F為BE的中點，點M、N為空間中的兩動點，且MBMF=NBNF=2，MN=2，則AM·AN的值為（）.

A.3B.4C.6D.8

根據題意，設底面△BCD的中心為O，以過O點平行于BC的直線為x軸，以OD所在直線為y軸，以OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.由題中的已知條件可知B（-3，-1，0），D（0，2，0），C（3，-1，0），∵點E為CD的中點，點F為BE的中點，∴E（32，12，0），F（-34，-14，0），設M（x，y，z），∵MBMF=NBNF=2，則MB=2MF，∴（-3-x，-1-y，-z）=2（-34-x，-14-y，-z），∴x=32，y=12，z=0，∴x2+y2+z2=1，表明點M在以O為球心，以1為半徑的球面上.同理N也在這個球上.

∵MN=2，∴MN為球的直徑.

∴AM·AN=（AO+OM）·（AO+ON）=（AO+OM）·（AO-OM）=AO2-OM2=5-1=4，選擇B項.

四、用于解答圓錐曲線習題

運用向量解答圓錐曲線相關習題時既要根據給出的向量關系準確的判斷角度、線段之間的隱含關系，又要注重運用傳統的解題思路，注重根與系數關系的應用，通過對相關參數的巧妙轉化與應用，順利的突破要求解的問題.如下題：

已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點F斜率為-1的直線和拋物線交于M、N兩點，直線l和拋物線相切，且l∥MN，P為l上的動點，則PM·PN的最小值為（）.

A.-12 B.-14 C.-16 D.-18

根據題意可知拋物線的交點為（0，1），過點M、N的直線方程為：y=-x+1.將其和拋物線C：y2=4x聯立，整理得到x2-6x+1=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=6，x1x2=1.設直線l的方程為y=-x+b，將直線l和拋物線方程聯立得到：x2-（2b+4）x+b2=0，∵l和拋物線相切，∴Δ=（2b+4）2-4b2=0，解得b=-1，直線l的方程為y=-x-1.設點P的坐標為（m，-m-1），PM=（x1-m，y1+m+1），PN=（x2-m，y2+m+1），則PM·PN=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2+（m+1）（y1+y2）+（m+1）2，∵（y1y2）2=16x1x2=16，則y1y2=-4，y12-y22=4（x1-x2），∴y1+y2=4（x1-x2）y1-y2=-4，∴PM·PN=1-6m+m2-4-4（m+1）+（m+1）2=2[（m-2）2-7]≥-14，當m=2時，點P的坐標為（2，-3）時，PM·PN取得最小值-14，選擇B項.

向量在高中數學中占有重要地位.相關情境既可以圍繞向量知識單獨出題，也可以與其他知識融合起來設問.但是無論何種情境的習題，要求學生解題時具備靈活的思維，提高向量幾何運算、坐標運算的應用意識.同時，做好向量在解題中的應用總結，不斷的積累相關的應用經驗與技巧，提高應用水平.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]