巧用阿氏圓 妙解一類題

摘 要：本文給出了阿波羅尼斯圓（以下簡稱阿氏圓）的一個幾何性質，并通過列舉其在解三角形、平面向量和解析幾何等有關問題中與常規解法的不同，讓大家感受到這一幾何性質在解題中的妙用.

關鍵詞：阿氏圓;反演點;妙解;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0015-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：魏東升，男，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

有時我們會有這樣的感慨，有些我們一直以為很熟悉的事物，隨著對其了解的深入，卻發現它們已經越來越陌生了.比如從小到大陪伴著我們成長的圓，可謂是我們接觸的最多的圖形之一了.但隨著學習的深入，當其以阿氏圓、蒙日圓等隱形圓的身份出現在試題中時，不少人卻陌生了.本文通過運用阿氏圓的一個幾何性質解題的幾個視角，讓大家感受到阿氏圓解題的美妙.

定理 如圖1，已知點M是以PQ為直徑的圓D上的任意一點，則直線PQ上兩點A，B滿足ADCD=CDBD=λ（λ≠1）的充要條件為：圓D是以A，B為兩定點，CACB為定值λ（λ≠1）的阿波羅尼斯圓.

證明 先證明必要性，因為ADCD=CDBD=λ（λ≠1），所以△ACD～△BCD，所以CACB=λ，從而根據定義可知圓D是阿波羅尼斯圓.

再證明充分性，因為CACB=PAPB=AD-PDPD-BD=AD-CDCD-BD=λ（λ≠1），①

同理可得AD+CDCD+BD=λ，②

由①②式可得CD2=AD·BD，結合②式可得ADCD=CDBD=λ（λ≠1）.

以下例舉該結論妙解相關問題的三個視角：

例1 （2019年全國Ⅱ卷理科第15題改編）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b=2，a=2c ，則S△ABC的最大值為.

通解 在△ABC中，由余弦定理，得22=（2c）2+c2-2·c·2ccosB，所以cosB=5c2-44c2，從而S△ABC=12·c·2csinB=c21-cos2B=c21-（5c2-44c2）2=14-9c4+40c2-16≤43，當且僅當c=253時等號成立，所以S△ABC的最大值為43.

妙解 因為b=2，a=2c ，可知點B的軌跡是一個阿波羅尼斯圓. 假設該圓的圓心為D，根據結論可知CDBD=BDAD=2=AC+ADBD，解得BD=43，即圓D的半徑為43.假設AC邊上的高為？，所以S△ABC=12·b·？≤12·b·BD=43，即S△ABC的最大值為43.

評析 本題的通法是運用解三角形的相關知識建立關于面積的函數解析式，其解題思路看似不遜色于妙解，但卻是建立在較大的數學運算量這一基礎上的.

例2 （2015年湖北卷理科第14題）如圖2，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（點B在點A的上方）， 且AB=2.

（1）圓C的標準方程為;

（2）過點A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，下列三個結論：

①NANB=MAMB;

②NBNA-MAMB=2;

③NBNA+MAMB=22.

其中正確結論的序號是. （寫出所有正確結論的序號）

通解 （1）圓C的標準方程為（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）由（1）可得A（0，2-1），B（0，2+1）， 設直線lMN的方程為y=kx+2-1，

聯立方程組y=kx+2-1，（x-1）2+（y-2）2=2，解得1+k2x2+2k2-1x+2-22=0…①，假設M（x1，y1），N（x2，y2），且設x2>0，所以kNA=2-1-y2-x2=k，kNB=2-1-y2+2-x2=k-2x2，所以|NA||NB|=1+k2NBx2-01+k2NAx2-0=1+（k-2x2）21+k2=1+k2x22-4kx2+41+k2x22…②，由①結合求根公式知kx2=22-2-1+k2x2222-2，將其代入②化簡可得NANB=2+1.同理可得|MA||MB|=2-1，由此可驗證①②③皆為正確結論.

妙解 （1） 圓C的標準方程為（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）由（1）可得A（0，2-1），B（0，2+1），所以BONO=NOAO=2+1，由結論易知圓O是以A，B為兩定點，以NANB=2+1為定值的阿波羅尼斯圓，由此很快可驗證①②③皆為正確結論.

評析 此題的妙解可謂是把阿氏圓解題的優勢體現地淋漓盡致！通法實際上是在不知道阿氏圓這一幾何背景下的純代數運算，屬于典型的“小題大做”，這樣處理實在是有點得不償失，雖然是一道填空題的壓軸題！

例3 （江西省贛州市2021年期中聯考理科第15題）已知a，b，c是平面內三個單位向量，a·b=0，則a+2c+2a+b-c的最小值為.

通解 假設c=（x，y），a=（1，0），b=（0，1），則x2+y2=2，a+2c=（1+2x，2y），2a+b-c=（2-x，1-y），從而a+2c+2a+b-c=（1+2x）2+（2y）2+（2-x）2+（1-y）2=3x2+y2+x2+y2+4x+1+（2-x）2+（1-y）2=（2+x）2+y2+（2-x）2+（1-y）2≥（2+2）2+（1-0）2=17.

妙解1 如圖3，因為a·b=0，記OA=-12a，OB=2a+b，OC=c，可知點C的軌跡是個圓，根據結論可知在OA方向上存在點D（也稱反演點）使得DOCO=COAO=2，此時DO=2，所以CD=2CA，從而a+2c+2a+b-c=2c-（-12a）+c-（2a+b）=2CA+CB=CD+CB≥BD=17.

妙解2 注意到a+2c=a+2c，所以利用向量的三角不等式可得a+2c+2a+b-c=2a+c+2a+b-c≥4a+b=17.

評析 通解的思路是向量問題代數化，很好地體現了“向量數與形融為一體”這一顯著特點，但較之基于阿氏圓背景的妙解1運算量偏大.妙解2很好地運用了向量的幾何性質，其解法可謂“大道至簡”，是神來之筆！

本文主要探究了阿氏圓中的一個幾何性質在不同數學知識板塊中的應用，給我們在解決這類問題帶來了啟發.像這樣利用蒙日圓和阿氏圓等知識進行專題教學，對同學們解題素養的提升是很有幫助的.需要指出的是，在專題學習時同學們不可陷入解題的思維定式，應該讓新方法完善和充實我們的解題系統.如在學習中發現阿氏圓好用便只從阿氏圓的角度思考和解決問題，掉入用“新知識”覆蓋“舊知識”的陷阱，以致“邯鄲學步”，其實很多在我們看來不起眼的“舊知識”往往能給我們帶來驚喜，這一點例3的妙解2就做了很好的詮釋.

參考文獻：

[1]魏東升.巧用蒙日圓，妙解一類題[J].中學數學研究（華南師大版），2020（21）：30-31.

[責任編輯：李 璟]