共點旋轉(zhuǎn)直線斜率問題的簡化策略*

福建省泉州第一中學 (362000) 張國川 任曉紅

最近筆者所在學校舉行數(shù)學周練，一道解析幾何題目學生做得并不理想，原因在于學生初學橢圓，對于坐標法解決幾何問題的方法還不熟悉；其次對于繁瑣的數(shù)學計算處理不當導致計算錯誤，也有不懂得如何簡化復雜的式子變形以致出現(xiàn)解題瓶頸，無法得到想要的結(jié)果.解析幾何重在考查學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，但倘若不能選擇合適的簡化運算方法，光有“埋頭苦算”的數(shù)學精神還遠遠不夠，在算的路上除了低頭苦算也得時常抬頭“仰望星空”，尋找最恰當?shù)倪\算技巧，實現(xiàn)簡化運算的目的.本文就該題的解答給出四種簡化運算辦法，只為拋磚引玉給同學們指路.

(1)求動點P的軌跡方程E.

(2)若A是軌跡E的左頂點，過點D(-3,8)的直線l與軌跡E交于B,C兩點，求證：直線AB,AC的斜率之和為定值.

(2)策略1：韋達定理+整體代換

策略2：仿射變換+韋達定理

策略3：變換順序+齊次化變形

策略4：曲線退化+另類雙聯(lián)立

本試題是一類典型的“動直線斜率和或斜率積”求解問題，研究兩根和與積時常可以聯(lián)想到韋達定理，作為簡化運算的策略，策略1中韋達定理發(fā)揮的作用是整體代入，采用設(shè)而不求簡化運算.但本題式子計算并不簡潔，為了解決斜率和通分后式子較復雜，考慮建立仿射變換在新坐標系下研究該問題，由于是整體平移因此不影響圖形之間的位置關(guān)系，故而結(jié)果依然不會發(fā)生改變.策略2正是基于此對策略1進行改進得到優(yōu)化解法.

策略1和策略2是基于方程聯(lián)立，韋達定理整體代換求出斜率和，策略3則是變換解題順序，先通過齊次化變形構(gòu)造出兩動直線的斜率模型，把兩條直線的斜率轉(zhuǎn)化成一元二次方程的根，最后再利用韋達定理求解，實現(xiàn)簡化運算的目的.策略4是以高觀點俯視試題，以二次曲線理論為基礎(chǔ)，研究退化的二次曲線，采用交軌法思想引領(lǐng)，通過退化曲線與橢圓的軌跡交點構(gòu)造出直線BC的方程，已知直線BC過點D(-3,8)，可化歸成含參直線過定點問題，參數(shù)k1,k2的和就可輕松求出.綜上所述，韋達定理整體代換、仿射變換、齊次化變形和交軌法是簡化解析幾何斜率和(積)求解的四種有效策略.