基于新課程理念的概念課教學(xué)
——以“充分條件、必要條件、充要條件”為例

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215021) 梅滋亞

2013年，教育部啟動了普通高中課程修訂工作．“研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，成為課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的重要要求．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀》(下稱《課標(biāo)解讀》)希望教科書的編寫和教師的教學(xué)，能夠把數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)與相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合，在關(guān)注學(xué)生掌握知識與技能的同時，關(guān)注學(xué)生相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成[1]．筆者嘗試以此為指導(dǎo)，以2019版蘇教版(下稱新教材)《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修第一冊)第2.2節(jié)“充分條件、必要條件、充要條件”為例進(jìn)行設(shè)計和分析，把其中的一些想法整理成文，供同行參考．

1 教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：(1)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件、必要條件和充要條件的意義；理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；(2)結(jié)合具體命題，學(xué)會判斷充分條件、必要條件、充要條件；(3)在師生、生生間交流和思考中感悟、提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn)：在具體的問題情境中抽象、概括出充分條件和必要條件的概念．

教學(xué)難點(diǎn)：對必要條件概念的理解．

2 教學(xué)過程設(shè)計

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

一般地，當(dāng)命題“若p，則q”為真命題時，我們就說“由p可以推出q成立”，記作“p?q”，讀作“p推出q”；如果命題“若p，則q”為假命題，就說“由p不能推出q成立”，記作“p?q”，讀作“p不能推出q”．

問題情境觀察下列命題，脫離具體背景，大家能否抽象概括出這些命題的條件和結(jié)論之間有何共同特點(diǎn)？

(1)x=y?x2=y2；

(2)x>1?x2>1；

(3)△ABC≌△A′B′C′?S△ABC=S△A′B′C′．

師生活動：在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)和提出過程，初步感受命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．同學(xué)們可以暢所欲言，談?wù)勛约旱目捶ǎ热纾哼@三個命題的條件都能推出結(jié)論成立；這三個命題的條件都只是結(jié)論成立的一種情況；這三個命題的結(jié)論都是條件成立的前提等等．討論之后，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣，促進(jìn)學(xué)生主動參與，教師引出本節(jié)課要研究的主題：如果“p?q”，那么p，q之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：相對于義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)知識，高中階段的數(shù)學(xué)知識較為抽象．抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段[2]．前面集合的學(xué)習(xí)就是在現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境中，概括出數(shù)學(xué)對象的一般特征，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)概念．設(shè)置同學(xué)們所熟悉的三個數(shù)學(xué)命題，分別與等式、不等式、三角形問題相關(guān)，脫離具體背景，抽象、歸納出它們之間的關(guān)系，在體會和感悟的過程中慢慢培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的能力．

2.2 新知探求，建構(gòu)數(shù)學(xué)

問題1 分析(1)(2)(3)，命題中的條件是否可以“充分保證”結(jié)論成立？

師生活動：同學(xué)們自主探究后交流，上述命題中的條件都可以“充分保證”結(jié)論成立．教師點(diǎn)評：“p?q”的含義是：一旦p成立，q一定也成立，即p對q的成立是充分的．類似于這樣的關(guān)系，可表述如下：如果“p?q”，那么稱p是q的充分條件(板書)．

問題2 分析(1)(2)(3)，命題中的結(jié)論如果不成立，條件還成立嗎？結(jié)論是條件成立“必不可少”的條件嗎？

師生活動：這個問題比上個問題稍難理解，讓同學(xué)們思考后交流討論，上述命題中的結(jié)論如果不成立，條件一定不成立，也就是說結(jié)論都是條件成立“必不可少”的條件．教師引導(dǎo)、點(diǎn)評：“p?q”也可以這樣理解：如果q不成立，那么p一定不成立，即q對p的成立是必要的．板書“必要條件”的概念，并強(qiáng)調(diào)充分條件和必要條件的關(guān)系是同時存在的．

設(shè)計意圖：通過以上兩個問題的分析，從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，同學(xué)們可以很自然地自己總結(jié)出概念，理解定義的必要性和合理性．其實(shí)，這里面所蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系，在平時的學(xué)習(xí)中都在用，這里只是通過教師的引導(dǎo)和同學(xué)們的感受，把這種關(guān)系抽象出來，從數(shù)學(xué)的角度給出了定義．

為了更好地理解充分條件和必要條件的概念，下面再從反面思考兩個問題．我們知道：

(4)x2=y2?x=y；

(5)x2>1?x>1；

(6)S△ABC=S△A′B′C′?△ABC≌△A′B′C′．

問題3 分析(4)(5)(6)，命題中的條件是否可以“充分保證”結(jié)論成立？

師生活動：同學(xué)們討論交流，上述命題中的條件不能“充分保證”結(jié)論成立，比如命題(4)中，x2=y2不能保證x=y，還有可能x=-y．教師點(diǎn)評：如果p?q，那么p不是q的充分條件．

問題4 分析(4)(5)(6)，命題中的結(jié)論如果不成立，條件還成立嗎？結(jié)論是條件成立“必不可少”的條件嗎？

師生活動：同學(xué)們獨(dú)立思考后分組討論，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，上述命題中的結(jié)論不是條件成立“必不可少”的條件，比如命題(4)中，x=y就不是x2=y2成立“必不可少”的條件，因?yàn)閤=-y也有x2=y2成立．教師點(diǎn)評：如果p?q，那么q不是p的必要條件．

設(shè)計意圖：有關(guān)邏輯的內(nèi)容，本身就比較復(fù)雜，因此為了凸顯要表達(dá)的數(shù)學(xué)概念，選用簡潔的數(shù)學(xué)背景．在以上兩個問題中，通過分析三個命題，體會不充分條件和不必要條件的含義．

至此為止，教師可以完成如下板書內(nèi)容的講解：

p?qp?qp是q的充分條件p不是q的充分條件q是p的必要條件q不是p的必要條件

理解了充分條件和必要條件概念的內(nèi)涵之后，同學(xué)們還要掌握快速判斷充要性的方法：若前面可以推出后面，則前面是后面的充分條件，同時稱后面是前面的必要條件；若前面不能推出后面，則前面不是后面的充分條件，同時稱后面不是前面的必要條件．對于充分條件和必要條件的學(xué)習(xí)應(yīng)該再通過討論一些數(shù)學(xué)命題逐步體會，通過實(shí)際例子來學(xué)習(xí)和理解，教材也循序漸進(jìn)地給出了如下例題．

2.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，深化理解

例1 下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？

(1)p：x=2，q：x2-x-2=0；

(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；

(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；

(4)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是平行四邊形．

例2 下列所給的各組p，q中，p是q的必要條件的有哪些？

(1)p：|x|=1，q：x=1；

(2)p：兩個直角三角形全等，q：兩個直角三角形的斜邊相等；

(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；

(4)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是平行四邊形．

設(shè)計意圖：通過例1和例2，進(jìn)一步理解充分條件和必要條件概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生體會分析問題、解決問題的過程．值得注意的是：要判斷p是否為q的充分條件，只需判斷p能否推出q?要判斷p是否為q的必要條件，只需判斷q能否推出p?舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法．觀察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以發(fā)現(xiàn)，其中既有p?q，也有q?p．教師板書充分且必要條件的概念，并介紹形式邏輯里最常用的推理規(guī)則：傳遞性．

例3 指出下列命題中，p是q的什么條件？

(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應(yīng)角相等；

(2)p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；

(3)p：a2=b2，q：a=b；

(4)p：x>y，q：x2>y2．

設(shè)計意圖：例3是例1和例2的綜合應(yīng)用，通過例3，深化對充分條件和必要條件概念的理解．新教材并沒有像2004版蘇教版(下稱舊教材)中直接給出充分不必要條件、必要不充分條件和既不充分又不必要條件的概念，而是出現(xiàn)在本例題中．筆者認(rèn)為，新教材的設(shè)置更加合理，因?yàn)樗拇蟪湟P(guān)系其實(shí)就是核心概念“充分條件”和“必要條件”的綜合應(yīng)用．新教材表述也不太一樣，比如：新教材中對本例題(1)的表述是：p是q的充分條件，但p不是q的必要條件．

思考1：例1(4)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的對角線互相平分”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，你能再給出其它充分條件嗎？

思考2：例2(4)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“四邊形的對角線互相平分”．這樣的必要條件唯一嗎？如果不唯一，你能再給出其它必要條件嗎？

思考3：容易發(fā)現(xiàn)，“四邊形的對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的充要條件．因此“對角線互相平分的四邊形”也可以作為“平行四邊形”的定義．大家還能舉出其它例子嗎？

設(shè)計意圖：為學(xué)生提供用邏輯用語梳理初中典型命題的機(jī)會，理解充分條件和必要條件的不唯一性；理解數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都具有“充分性”；每一條性質(zhì)定理都具有“必要性”，而數(shù)學(xué)定義具有“充要性”．讓學(xué)生體會用新語言表述舊知識的簡潔性、嚴(yán)謹(jǐn)性和統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)學(xué)科中大量的命題都是用它們來表述的，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中要習(xí)慣并自覺地運(yùn)用這些語言表達(dá)和交流，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2.4 回顧反思，提升素養(yǎng)

問題5 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有哪些收獲和感悟？

設(shè)計意圖：比獲得知識更重要的是感悟獲得這些知識的方法以及蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．觀察實(shí)例、抽象概括、實(shí)例體會，這個過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，在思考中積累經(jīng)驗(yàn)、學(xué)會學(xué)習(xí)．

2.5 課外作業(yè)，鞏固練習(xí)

P33：習(xí)題2.2第1，2，3題．

3 教學(xué)設(shè)計反思

3.1 對情境引入的認(rèn)識

《課標(biāo)解讀》指出：基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要特別重視情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出．核心素養(yǎng)是在特定情境中表現(xiàn)出來的知識、能力和態(tài)度，只有通過合適的情境才有利于學(xué)生感悟和形成．筆者在思考這節(jié)課的導(dǎo)入部分時，有兩個方案備選：一個是從生活事例出發(fā)，引入充分條件與必要條件的概念；一個是從數(shù)學(xué)實(shí)例出發(fā)，抽象出充分條件與必要條件的概念．可能從生活的角度出發(fā)，可以使得數(shù)學(xué)更加生動、離我們更近，而且能夠很好地活躍課堂氣氛，但是容易產(chǎn)生歧義和誤解．筆者認(rèn)為，情境導(dǎo)入合理與否的一個標(biāo)準(zhǔn)是它能否很好地服務(wù)數(shù)學(xué)課堂、能否給學(xué)生提供探索的平臺，讓學(xué)生心無旁騖、自然地進(jìn)行新知探求．所以，再三斟酌，選擇了后者，通過具體數(shù)學(xué)命題的考察和分析，讓同學(xué)們來領(lǐng)會和理解嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念，潛移默化中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.2 對概念生成的思考

筆者在教學(xué)設(shè)計時注重概念的生成．本節(jié)課，最重要的核心概念是“充分條件”和“必要條件”．和舊教材開門見山地給出充分條件和必要條件的概念相比，新教材增加了兩句話做鋪墊，使得概念的出現(xiàn)更加自然，顯然教材編寫組的專家認(rèn)為對概念的生成部分有必要放慢節(jié)奏，給同學(xué)們思考和感悟的空間．所以，筆者通過問題1至問題4的設(shè)置，啟發(fā)學(xué)生思考，通過歸納、抽象和概括，自然形成數(shù)學(xué)概念，理解定義“充分條件”和“必要條件”這兩個概念的必要性和合理性，注重揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維．課堂的情境引入部分和例題深化部分關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，引用了大量的同學(xué)們初中時所熟知的內(nèi)容，這樣既體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下稱《課標(biāo)》)對預(yù)備知識的要求：以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為主要載體，也方便了師生的教和學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)家迪里滿說：“數(shù)學(xué)是語言的語言”．通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們體會到邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具．學(xué)習(xí)常用邏輯用語，可以使我們正確理解數(shù)學(xué)概念、合理論證數(shù)學(xué)結(jié)論、準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容．這些感覺和體會可能還會隨著同學(xué)們后續(xù)的學(xué)習(xí)逐步加深，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的是理性思維的培養(yǎng)．一次次的概念生成過程體驗(yàn)，就是一次次的思維鍛煉提升，這也是本節(jié)課的設(shè)計初衷．

3.3 對能力素養(yǎng)的關(guān)注

《課標(biāo)》指出：碎片化的數(shù)學(xué)內(nèi)容，無法把數(shù)學(xué)的本質(zhì)表述清楚，更無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，應(yīng)該把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計．新教材必修第一冊的前三章承載了《課標(biāo)》中主題一預(yù)備知識的內(nèi)容．通過對這些知識的學(xué)習(xí)，要為高中數(shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，在掌握知識的同時重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)[3]．本節(jié)課作為其中一部分，作用當(dāng)然不可忽視．以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常遇到的表述為背景，按照“問題—分析—抽象—應(yīng)用”的程序設(shè)計教學(xué)活動，通過對典型數(shù)學(xué)命題的分析，抽象出命題中條件與結(jié)論之間一般化的關(guān)系，形成本節(jié)課的概念，然后通過具體的實(shí)例進(jìn)一步體會．教學(xué)設(shè)計中有意識讓學(xué)生獨(dú)立自主地“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的完整過程，滲透研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，感悟數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力的提升．問題的設(shè)置由淺入深，將核心素養(yǎng)蘊(yùn)含于教學(xué)內(nèi)容的邏輯體系之中，在關(guān)注知識與技能的同時，思考知識與技能所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想，最終實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)．