例析方程有解求參數(shù)范圍的幾類問(wèn)題

江蘇省泰興市實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán) (225400) 陳 琦

在處理函數(shù)與方程的相關(guān)問(wèn)題中，若方程有解則求參數(shù)的范圍這類問(wèn)題比較典型，最常用的解題方法有：分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等．下面舉例介紹幾個(gè)常見(jiàn)題型以及常用求解方案，供讀者朋友參考．

一、一元二次方程在實(shí)數(shù)集上有解

如果是二次方程問(wèn)題，使用判別式法是非常有效，如果是其他類型問(wèn)題，參數(shù)分離法也比較多見(jiàn)．

例1 若方程(lgax)(lgax2)=-2所有解都大于零，求a的取值范圍．

解析：先將方程化簡(jiǎn)得(lga+lgx)(lga+2lgx)=-2，即2lg2x+3lga·lgx+lg2a+2=0，設(shè)lgx=t，則有2t2+3tlga+lg2a+2=0(*) ，由于原方程有大于零的解，即x>0，故lgx=t∈R，即方程(*)有兩個(gè)實(shí)解，所以△=9lg2a-8(lg2a+2)≥0，即lga≥4或lga≤-4，解得a≥1000或0

評(píng)注：本題雖然是一個(gè)對(duì)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)化簡(jiǎn)、換元可化歸為一元二次函數(shù)有實(shí)數(shù)解問(wèn)題，利用方程根的判別式可以迅速求解．

例2 若關(guān)于x的方程22x+2xa+a+1=0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

評(píng)注：判斷方程的根是否存在，可以通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題求解，也可直接通過(guò)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題求解.

二、一元二次方程在某區(qū)間上有解

如果方程的解被限定在某個(gè)區(qū)間上，此時(shí)這個(gè)區(qū)間就是問(wèn)題的主要條件，解題時(shí)必須給予充分考慮．

圖1

例3 已知方程x2+2(m+3)x+2m-14=0的兩個(gè)根都在區(qū)間(1，3)之外，求m的取值范圍．

評(píng)注：由于方程f(x)=0的兩根分布在區(qū)間(1，3)之外，即區(qū)間(1，3)必須是方程x1，x2(x1

例4 已知a是正實(shí)數(shù)，如果方程2ax2+2x-3-a=0在區(qū)間[-1,1]上有實(shí)根，求a的取值范圍．

評(píng)注：由于此題中涉及的函數(shù)為二次函數(shù)，解題中抓住二次函數(shù)的特征(對(duì)稱軸、頂點(diǎn))，并結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分析，通過(guò)建立相關(guān)的不等式(組)可使問(wèn)題獲得圓滿解決．

三、復(fù)合函數(shù)方程有解問(wèn)題

如果方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，探索此類方程的解的問(wèn)題，多數(shù)是通過(guò)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的有關(guān)交點(diǎn)情況解決．

圖2

解析：設(shè)t=f(x)，則方程為t2-at=0，解得t=0或t=a，即f(x)=0或f(x)=a，如圖2，作出函數(shù)f(x)的圖像，由函數(shù)圖像可知f(x)的解有兩個(gè)，故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5個(gè)不同的解，則方程f(x)=a的解必有三個(gè)，此時(shí)0

評(píng)注：此題是復(fù)合函數(shù)方程的問(wèn)題，并且涉及的函數(shù)是分段函數(shù)，根據(jù)題目的特點(diǎn)與所求，對(duì)方程進(jìn)行分解，并利用函數(shù)圖像進(jìn)行分析是解決參數(shù)范圍最有效的途徑．

圖3

點(diǎn)評(píng)：雖然此題的復(fù)合函數(shù)方程與上題的形式不同，但通過(guò)換元并分層利用函數(shù)圖象分析是解決此類問(wèn)題比較有效的方法．

四、超越函數(shù)方程有解問(wèn)題

所謂的超越函數(shù)，就是非我們熟悉的代數(shù)函數(shù)，其方程我們是不能用普通的方法解決，畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像進(jìn)行分析是最基本的方法．

例7 已知方程2x-1+2x-a=0有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

圖4

評(píng)注：對(duì)于超越方程解的情況的判定，畫函數(shù)圖象是一個(gè)行之有效的方法，解題過(guò)程中要對(duì)特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行準(zhǔn)確定位，還須正確分析函數(shù)圖象的基本走向．

五、可轉(zhuǎn)化為方程有解的問(wèn)題

有關(guān)交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題都是方程有解問(wèn)題的另一種表現(xiàn)形式，很多情況都可以轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題來(lái)解決．

例8 已知拋物線y=-x2+ax-1和點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)，若拋物線與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

評(píng)析：此題根據(jù)線段與拋物線的位置關(guān)系，由兩個(gè)方程的聯(lián)立將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，這說(shuō)明了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題在解決其他問(wèn)題中的關(guān)鍵作用，應(yīng)引起足夠的重視．

例9 已知函數(shù)f(x)=ex-1+x-2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=x2-ax-a+3，若存在實(shí)數(shù)x1,x2，使得f(x1)=g(x2)=0，且|x1-x2|≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

評(píng)注：本題從表面上來(lái)看不是方程有解問(wèn)題，但通過(guò)分解問(wèn)題并進(jìn)行層層推理探索，就將其化歸為此類題型了，解題中的分析推理，取得了“破繭抽絲”的效果．