例析隱零點問題的解決策略

安徽省宣城中學(xué) (242000) 張緒根

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題已經(jīng)成為高考壓軸題的命題趨勢.這類問題最終都會轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)單調(diào)性又與導(dǎo)函數(shù)的零點有密切的聯(lián)系.但是在求解導(dǎo)函數(shù)零點時往往會遇到超越方程，無法直接求出，我們稱之為導(dǎo)函數(shù)的隱零點.本文將介紹幾種有效的處理策略.

一、直接觀察

例1 已知(x2-x)lnx-ax≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

評注：對于比較簡單的超越方程，我們可以采取特殊值試探出方程的一個根，再通過二次求導(dǎo)或者分類討論證明解的唯一性.

二、虛設(shè)零點

由于題目的超越方程猜不出具體零點，我們需要退而求其次，虛設(shè)零點，然后對零點所滿足的代數(shù)式進行合理變形與代換，將超越式化為普通式.

例2 設(shè)f(x)=ax+lnx+1,若對任意的x>0,f(x)≤xe2x恒成立，求a的范圍.

評注：上述兩例的導(dǎo)函數(shù)均為超越函數(shù)，零點無法求出.采用虛設(shè)零點并利用零點存在性定理縮小其范圍，接著通過ex0與lnx0的關(guān)系逐步將超越式簡化為簡單函數(shù)，這需要一定的代數(shù)變形與運算能力.

三、靈活放縮

四、分離函數(shù)

評注：當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時，可以采用分離函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個易于研究的函數(shù).這類問題有一個典型特征，即可以證明g(x)min≥h(x)max，從而得出g(x)-h(x)≥0.

五、結(jié)束語

隱零點問題在高考中頻率之高、地位之重必須引起我們的重視.解決這類問題，我們要盡可能把指數(shù)與對數(shù)分開，通過虛設(shè)零點、限制范圍、整體代換，將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵魏瘮?shù).放縮法和分離函數(shù)法給解題提供了快速便捷的思路，具有一定的技巧性，平時多歸納一些常見不等式和簡單函數(shù)圖像對于我們解題大有裨益.