一道復旦大學自主招生試題的解法探究

重慶市中山外國語學校 (404500) 廖雙平

二元函數最值問題一直是各高校自主招生考試中的重點考查對象，也是學生學習的難點之一，因其靈活多變，備受命題者的關注.本文對2020年復旦大學自招試題的一道給定條件的二元函數最值問題的解法進行了深入的探究，希望給大家啟發.

1.試題呈現與分析

(2020年復旦大學自主招生試題第3題)已知x2+2xy=1，求x2+y2的最小值.

試題分析：題目結構清晰，形式簡潔，以函數為背景，主要考查二元函數的最值問題，突出考查學生邏輯推理和運算求解方面的能力，試題的思維過程和運算過程體現了能力立意的命題思想，較好地檢測學生的數學素養和學習潛能.

2.解法探究

評注：本解法是參考答案給出的方法， 采用代入消元法解決最值問題，思路清晰，解法自然，是解決此類問題的常規方法，但是運算量稍大.

評注:“化陌生為熟悉”是數學中處理問題的常用方法，體現了數學轉化思想，換元法是解此類最值問題的常用方法之一.

由于所給式子具有齊次式特點，所以有下面兩種解法.

評注：將x2+2xy看成一個整體，巧妙借助“1”的代換將所求表達式轉化為齊次式并換元，結合均值不等式求解，技巧性強，需要學生對該類問題有一定的知識儲備.

評注：解法4采用判別式法，對于類似于這種二元最值問題，判別式法也是一種通法，而且運算量不大，二元轉化為一元的過程也比較自然.

評注：解法5是采用三角換元，借助三角函數的有界性確定變量的最值，極大簡化了運算過程.

評注：解法6本質上同解法5一樣，根據題目條件進行三角換元再結合三角函數有界性求解.

評注：解法7本質上與解法3是一致，利用三角換元后借助基本不等式法.

評注：多元函數最值問題可以通過消元，最終變為一元函數最值問題來處理，而 “導數法”則是求一元函數最值的通用解法,具有普遍性.

3.進一步的運用

例2 若x2+3xy+2y2=1，求x2+y2的最小值.

分析：此題為二元條件最值問題，求解較為麻煩.通過部分換元可以得到較為簡便的解法.

例3 已知x2+xy+2y2=1，求x2-3xy+2y2的取值范圍.

例4 若6x2+6xy+4y2-1=0求x2-y2的最大值.

例5 在正實數范圍內，xy(x-y)=4求x+y的最小值.

分析：此題解法較多，常見的方法有消元，換元，整體代換等.根據試題特點，此題用整體代換較為簡單.

對于多元條件下的函數最值問題，不論是競賽、自主招生考、高考還是各地的模似考，一直是考試中命題的熱點；由于這類問題求解時，所要求的分析能力較強，涉及到的數學思想方法較多，變形的技巧性較高，其重點關注學生對基本知識、基本技能的理解和掌握及靈活運用，著重提升學生思維的深刻性、靈活性、創造性，通過多視角透析題目條件，探尋多角度解法，提煉解題策略.