例談同構視角下函數與導數高考試題的求解策略
——從2020年高考試題談起

云南師范大學信息學院 (650500) 唐明超廣東省佛山市順德區容山中學 (515800) 潘敬貞廣東省佛山市實驗學校高中部 (528000) 袁錦前

高考中函數與導數試題多以壓軸題的形式呈現，具有較強的靈活性，重在考查學生的數學抽象與邏輯推理核心素養，檢測學生的四基與四能發展水平，試題往往具有較好的區分度.但是變化的試題背后總有一些不變的元素以及解決問題的基本方法.文章從研究2020年的部分函數與導數試題出發，探究試題背景，分析試題命題意圖，基于同構的視角談解決該類問題的基本做法.

所謂同構，就是根據問題解決需要尋找與之緊密關聯的特殊函數，將關聯函數的基本性質進行遷移并運用于問題解決的過程.同構的目的在于從特殊到一般，經歷問題的合理轉化將看似復雜的問題簡單化，抽象的問題模型化.用好同構思想解題可以省去部分常規解法中必須經歷的求導或者分類討論的復雜過程，簡化推理步驟，優化數學運算.同構往往涉及到指數與對數的轉化，切線放縮，整體換元等過程，是解決多個基本初等函數復合問題的重要手段，主要運用于解決比較大小，零點存在性問題，不等式恒成立求參數的取值范圍等問題中.

一、比較大小

例1 (2020年課標全國Ⅱ卷理11題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：試題是不等式比較大小的經典問題，解決關鍵在于抽象出不等式背后所隱藏的函數，解題的基本方法是先觀察式子的結構特點，將不等式進行適當整理化歸，尋找一個符合式子結構特點的特殊函數，通過研究關聯函數的單調性、最值等基本性質進而實現對原問題的解答.

解析：從未知數統一的角度將式子轉化為2x-3-x<2y-3-y，發現不等式兩邊的結構相同而且符合函數f(t)=2t-3-t的基本形式，成功找到了關聯函數；容易判斷關聯函數f(t)=2t-3-t的單調性為增函數，所以由f(x)

例2 (2020年課標全國Ⅰ卷理12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：試題呈現的是一個等式，要求判斷未知數的大小關系，如果考慮用特殊值法來判斷則不容易找到符合條件的特殊值.所以解決該問題的基本思路首先還是考慮同構，即觀察式子的結構特點，尋找符合式子結構特點的函數，進而研究函數的性質.

解析：將式子適當變形得2a+log2a=22b+log22b-1，觀察式子結構特點，容易找到符合條件的函數f(x)=2x+log2x，且f(2b)-f(a)=1>0；又因為函數是增函數，所以2b>a，故選B.

分析：試題考查導數與三角函數的綜合問題，考查學生運用導數研究函數單調性及最值問題的基本技能.試題設計層級遞進，雖然第(2)小題為第(3)小題搭好腳手架，但是(3)題不等式的證明抽象性較強，難度較大.如能用好同構思想對不等式進行適當變形，將其轉化成與第(2)題結論相關聯的結構則可以快速得出證明.

二、零點存在性問題

例4 (2020年課標全國Ⅰ卷文20題)已知函數f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

分析：該題屬于函數與導數綜合問題，第(1)題研究確定函數的單調區間，意在考查學生的基礎知識與基本技能.能準確求導是前提，掌握導函數與原函數的邏輯關系是關鍵.第(2)題考查零點與參數的取值范圍問題，零點個數確定，要求參數a的范圍，解決該類問題一般有三個基本思路可以嘗試.

思路2：如果不分離參數，可直接對f(x)求導，再對參數a進行分類討論，通過研究函數極值或最值的符號確定參數a的取值范圍.

思路3：同構的思想，即通過觀察式子結構特點尋找與之相近的常見函數或者不等式，通過研究同構函數或不等式的性質間接得出答案，解法如下.

特別說明：為滿足邏輯推理的嚴謹性，運用不等式ex≥x+1之前需要給予嚴格證明.可以構造f(x)=ex-x-1，所以f′(x)=ex-1，因為f′(0)=e0-1=0且f′(x)=ex-1在x∈R上單調遞增，所以當x∈(0,+∞)時f′(x)>0，即f(x)單調遞增；當x∈(-∞，0)時f′(x)<0，即f(x)單調遞減，所以f(x)min=f(0)=0，即f(x)=ex-x-1≥0，所以ex≥x+1恒成立.

例5 (2020年浙江卷22題第(1)問)已知1

分析：要證明函數在區間上有唯一零點，等價于證明函數在區間上有唯一的實數根或者圖象與x軸有唯一的交點，當然也可以考慮將函數分割成兩個恒等的基本初等函數，證明圖象有唯一的交點.函數f(x)包含了g(x)=ex與h(x)=x+a兩個基本元素，容易聯想到同構式ex≥x+1恒成立，且取等號的條件為x=0.

解析：令f(x)=ex-x-a=0得ex=x+a，因為1x+1，因為直線y=x+a與直線y=x+1平行且x+a>x+1，所以直線y=x+a一定在直線y=x+1的上方，所以h(x)=x+a與g(x)=ex在(0，+∞)上有唯一零點x0>0，得證.

三、不等式的恒成立問題

例6 (2020年新高考全國Ⅰ卷21題第(1)問)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

分析：解決不等式恒成立問題主要有三個基本策略，一是通過研究函數的單調性確定函數在給定區間上的取值范圍；二是將不等式拆分成兩部分，分別求其最大值與最小值進行比較；三是利用同構思想合理使用切線放縮進行證明.函數f(x)=aex-1-lnx+lna中既包含了指數，也含有對數，是較復雜的復合函數問題，可以優先考慮通過指對數互化構造新函數實現對問題的解答，具體過程如下.

解析：由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1得elna+x-1-lnx+lna≥1，考慮構造相同的式子結構得elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx，等價于et1+t1≥et2+t2，可以構造函數g(x)=ex+x，則不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx)；又因為g(x)為單調增函數，不等式等價于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立.又因為ex≥x+1(x≥0)等價于x≥ln(x+1)，也等價于x-1≥ln(x-1+1)即x-1≥lnx，所以lnx-x+1≤0，要使得lna≥lnx-x+1恒成立，只需(lna)min≥(lnx-x+1)max，即lna≥0，從而a≥1.

四、高考鏈接

試題1 (2017年新課標全國Ⅱ卷理21題第(1)問)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求a.

分析：該題也是不等式恒成立求參數的取值范圍問題，觀察式子結構特點容易聯想到同構不等式ex≥x+1及其變形.所以由函數f(x)=ax2-ax-xlnx≥0得x[a(x-1)-lnx)≥0，等價于a(x-1)-lnx≥0，即lnx≤a(x-1)①；又因為ex≥x+1(x≥0)等價于x≥ln(x+1)，也等價于x-1≥ln(x-1+1)即x-1≥lnx②，由①②兩式得a=1.

分析：(1)該題也是考查不等式的恒成立問題求參數的取值范圍問題，由式子結構特點容易想到同構不等式ex≥x+1及其變形.依題意可得定義域為x∈(0,+∞)，由f(x)=x-1-alnx≥0得x-1≥alnx①，又因為ex≥x+1(x≥0)等價于x≥ln(x+1)，也等價于x-1≥ln(x-1+1)，即x-1≥lnx②，由①②兩式得a=1.

解題反思：如能熟練理解題目結構信息找到問題的本質，經過適當的轉化就可以利用已知結論解決問題，整個解題過程思路清晰，目標明確；結合已有知識經驗將原本看似復雜的問題所隱藏的數學本質挖掘出來是解決導數壓軸題的關鍵與前提.

一類對基本初等函數進行加減乘除運算得到的形如y=xlnx，y=lnx+ax+b，y=alnx+bx+c，y=aex+bx+c，f(x)=aex-ln(x+b)等的復合函數是高考考查的熱點和重點.在比較大小，零點探究，不等式證明等問題中，可以嘗試基于同構的視角去尋找變化的試題背后不變的問題本質，通過對問題進行適當轉化與化歸，聯想與之關聯的函數或者不等式.比如不等式x+1≤ex及其變式ln(x+1)≤x,x∈(-1,+∞)就是解決歷年高考試題的重要利器，也是高考命題的重要素材，如能準確識別它并能在解決實際問題的過程中將其靈活地運用好，可以實現簡化推理并優化運算的作用.