一道質(zhì)檢題的解析與引申

福建省龍巖市高級中學(xué) (364000) 林金榮

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)過點F2引PF2的垂線交直線l:x=2于點Q，試判斷直線PQ是否與C有其他公共點？說明理由.

本題源自2010年安徽卷理科19題及2013年山東卷理科壓軸題，它以橢圓的幾何性質(zhì)為基本素材，為考生創(chuàng)設(shè)了一個陌生情境，旨在考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力，以及應(yīng)用解析幾何思想方法分析問題解決問題的能力. 本題第(Ⅰ)小題，考查橢圓之焦點三角形的基本計算，考查學(xué)生在直角三角形的情形，內(nèi)角平分線的處置辦法．本小題入口較寬，方法多種多樣，注意到角是一個軸對稱圖形，角與等腰三角形之間具有天然的內(nèi)在聯(lián)系，以及角平分線的諸多幾何性質(zhì)等，學(xué)生可以根據(jù)自己的情況，用自己熟悉的方法入手，比如：幾何方法的分割；直接套用正余弦定理的三角方法；機(jī)械的代數(shù)方法等，以充分發(fā)揮自己的長處，如果方法得當(dāng)且運用得比較靈活，那么將省時省力，為完成后面的題目創(chuàng)造有利條件．

一、幾何方法

圖1

二、三角方法

解法六：(正弦定理)在△PMF1與△PMF2中，根據(jù)正弦定理，化簡整理可得|PF1|=3|PF2|，以下同解1.

三、代數(shù)方法

解法9：(倒角公式)∵PM平分∠F1PF2，

∴tan∠F1PM=tan∠MPF2，根據(jù)倒角公式，

∴a2c2=2，以下同解法4.

評注：求解三角形問題，是高中數(shù)學(xué)的基本計算之一，直接運用三角方法的題目占了很大地盤，但當(dāng)直接應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式求解它遇到一定困難的時候，我們不妨換一個角度想一想，通過添設(shè)輔助線并聯(lián)想平面幾何的知識對圖形進(jìn)行處理(比如解一至解三)；或者運用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析(比如解八、解九)，也許思路更加自然，能尋找到一條更加簡捷合理的途徑．

本題第(Ⅱ)小題，揭示了與橢圓焦點、準(zhǔn)線，以及切線息息相關(guān)的一個幾何性質(zhì)，內(nèi)涵十分豐富，主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.

評注：研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，基本的途徑就是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的方程，運用判別式等作進(jìn)一步討論．

以下，我們將上述題目引申為更一般的情形．