變式探究，類比遷移
——由一道調研題引發的思考

安徽省蕪湖市第一中學 (241000) 劉海濤

數學中的變式指的是有目的，有計劃地對命題進行合理轉化，從而揭示問題本質，達到舉一反三的效果.本文中筆者對一道高三的調研題的變式進行探究和類比推廣，現與讀者分享.

1.問題呈現

(1)求橢圓C的方程；

(2)若A(-2,0),B(2,0),M(4,1)，直線MA與橢圓C的另一個交點為點P,直線MB與橢圓C的另一個交點為點Q,求證：直線PQ恒過定點.

該題是直線和橢圓位置關系的解析幾何綜合題，第一問較為容易，第二問考查了直線與橢圓位置關系，韋達定理，直線過定點等知識，需要學生有一定的運算能力和綜合分析問題的能力.

2.問題解決

思考：美國數學教育學家波利亞說過：“觀察可以導致發現，觀察將提示某種規則、模式或定律.”此題的第二問具有很好的探究價值，筆者通過觀察、分析、聯想發現本題可以進行一般化推廣.

3.變式探究

(1)注意到點A,B是長軸的兩端點，點M在右準線上，定點(1,0)是右焦點，將橢圓方程一般化，可得到性質1.

(2)將點M換成一般情況，即點M是準線上的動點，通過探究得性質2.

(3)將命題2中的部分條件和結論互換，通過變式探究，得到性質3和性質4.

證明過程省略，可參考性質2和性質3的證明方法.

4.類比遷移

圓錐曲線不限于橢圓，還有雙曲線和拋物線，基于上述探究，筆者借助幾何畫板探究雙曲線發現也有類似上述結論.

這里證明與橢圓類似，過程省略.

我們知道拋物線沒有兩個頂點，那么我們還是否有類似命題呢？筆者借助幾何畫板探究發現了結論3.

下面僅給出由①②推出③的證明過程，另兩種情況的證明過程類似可得.

5.結語

“學而不思則罔，思而不學則殆”，在數學學習中面對一道問題時，我們不能單純為了得到答案去解題，而應該去深層次挖掘題目本質，變式探究出一般性結論，掌握探究問題的規律方法，并進行類比遷移，到達“解一題，通一類”的目的.