構造圓方程求解弦對定點張直角的問題

江西省吉安市白鷺洲中學 (343000) 董永芳 劉忠浪

解析幾何中的弦對定點張直角問題有很多解法，除了常規解法外還有齊次化、點乘雙根法等方法，本文以2007年山東卷解幾題為例,介紹求此問題的另一種構造圓方程方法，并將其推廣為一般結論.

評析：以上方法相比于一般常規方法少了許多復雜運算，簡便快捷.特別是解法中由①+②得到以AB為直徑的圓的方程的運用并且可以得到以AB為直徑的圓過橢圓上任意一點，則直線l必過定點的結論.

(2)當直線平行于坐標軸時，結論顯然成立.

類似的，還可以將結論推廣為：

結論3 已知直線l與拋物線C:y2=2px相交于A,B兩點，若以AB為直徑的圓過拋物線上一點P(x0,y0)(異于點A,B)，則直線l過定點(2p+x0,-y0).

運用結論不難完成以下問題：

(答案：直線l過定點(-8，12)).

題2 已知直線l與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點，若以AB為直徑的圓過拋物線C上一點P(4,4)(異于點A,B)，證明：直線l過定點.

(答案：直線l過定點(8，-4)).