一道與外心有關的向量題的解法與變式*

重慶市長壽中學校 (401220) 田 鵬

平面向量是高考考查的重要知識，其中與三角形的重心、垂心、內心、外心綜合考查的題目屢見不鮮.本文從多角度探究一道與外心有關的向量題，以期和同行們交流.

1 題目呈現

本題是課時作業上的一道習題，具有題干簡潔，問題明了的特征.在講評該題時，多數學生表示一時難以找到突破口，筆者課后對本題進行了深入的探究，發現是一道綜合考查學生邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養難得的好題，其解題過程不乏處處彰顯數學思想.為了解題方便，在此先給出兩個引理.

2 解法探究

本題中的△ABC是完全確定的，外心O是△ABC三邊的中垂線的交點，故O在△ABC三邊上的投影為三邊的中點，且滿足OA=OB=OC，如果從這些性質入手，建立x,y的兩個方程，則問題迎刃而解，所以有以下幾種解法.

以上四種解法大同小異，充分利用了外心的各種性質，建立起了x,y的兩個方程，通過解方程的思想求出了答案，那么此題還有其他解法嗎？還有沒有建立x,y關系式的其他方法呢？經過繼續探究，發現了另外兩種建立x,y關系式的方法.

圖1

解法五和解法六從另一角度對該問題進行了分析，具有很大教育價值，特別是對基礎較好的學生更應該培養他們分析問題，提出問題，解決問題的能力.問題是靈魂，以問題為載體，不斷加強學生的創新思維意識，培養舉一反三的能力，這也是新課程改革重要目標之一.那么還有沒有解決這道題的其他方法呢？上面六種解法都是以建立x,y的方程為核心，充分體現了方程思想的重要作用.通過探究，發現還可以建立坐標系或運用向量的基本運算這兩種方法.

圖2

圖3

解法七和解法八本質是一樣的，都利用了向量的基本運算.解法七用了向量的坐標運算，解法八用到了向量的平行四邊形法則.這兩種方法對加深學生對向量運算的理解大有好處.如何建立坐標系？如何利用平行四邊形法則來分解向量，如何把復雜問題轉化為簡單問題？這是落實學生數學學科核心素養的重要途徑之一.

3 變式探究

學會解一道題不是最重要的，而是通過解一道題，學會一類題的解法.把原題所考查的知識點進行梳理，全方位、多角度去剖析問題.通過改變題目的條件或者結論，就可以得到與原題相關的一些變式題，研究一下這些變式題與原題在解法上的區別，就會有收獲.本著以題育人，以題培養學生數學核心素養的目的，對該題作出以下變式：

圖4

以上變式都采用了其中一種方法，當然也可以用其他方法，讀者可以嘗試一下.通過一題多變，一題多解，學生的發散思維得到鍛煉，提高了分析問題，提出問題，解決問題的能力.

4 小結

新的高考改革，是從知識立意到能力立意，再到以學科核心素養為導向的深層次改革，不僅要求學生會解題，更應該要求學生創新，能夠利用已有的知識解決數學內部，乃至自然生活中的問題，學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達現實世界.這條路任重而道遠，需要每一位教育工作者不懈地努力.在平時的教學中，提倡一題多解，一題多變，多題歸一的教學模式，有利于提升學生的思維品質，有利于培養學生數學核心素養.