三角形中與角有關的幾個等式

廣東省中山紀念中學 (528454) 鄧啟龍

首先給出本文要用到的引理.

(2)證明與(1)類似.

設△ABC的三個內角分別為A,B,C,接下來給出幾個與角A,B,C有關的等式.

由A+B+C=π得sinA+sinB+sinC=

(2)證明與(1)類似.

(2)證明與(1)類似.

等式4 (1)sin2A+sin2B+sin2C=2(1+cosAcosBcosC)；(2)cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC.

=2(1+cosAcosBcosC).

(2)證明與(1)類似.

等式5 (1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；(2)cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1.

(2)(1)式兩邊同時除以tanAtanBtanC得cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1.

注：(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC是三角形中常用的性質.(2)任意整數n,有tannA+tannB+tannC=tannAtannBtannC,cotnAcotnB+cotnBcotnC+cotnCcotnA=1.

等式7 (1)sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA；(2)sin2A+sin2B+sin2C=2sinAsinBcosC+2sinBsinCcosA+2sinCsinAcosB；

(3)sinAsinBcosC+sinBsinCcosA+sinCsinAcosB=1+cosAcosBcosC；(4)sinAcosBcosC+sinBcosCcosA+sinCcosAcosB=sinAsinBsinC.

證明：(1)sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA=sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)=sin2B+sin2C+2sinBsinC(cosBcosC-sinBsinC)=sin2B+sin2C+2sinBsinCcosBcosC-2sin2Bsin2C=sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sinBsinCcosBcosC

=sin2Bcos2C+sin2Ccos2B+2sinBsinCcosBcosC

=(sinBcosC+sinCcosB)2=sin2(B+C)=sin2A.

(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.同理可得sin2B=sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB,sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC,以上三個式子相加即得(2).

(3)由(2)和等式4(1)即得.

(4)sinAcosBcosC+sinBcosCcosA+sinCcosA·cosB=cosC(sinAcosB+sinBcosA)+sinCcosAcosB=cosCsin(A+B)+sinCcosAcosB=sinC(cosC+cosAcosB)=sinC[cosAcosB-cos(A+B)]

=sinAsinBsinC.

注：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA是余弦定理的等價形式,本文只從三個內角的關系出發來證明該等式.

下面結合例題說明這些三角形中與角有關的等式在三角形中的應用.

例1 △ABC的三邊分別為a,b,c,面積為S,p為半周長,外接圓半徑為R,證明:

注：由正弦定理將三角形的三條邊化成角,然后利用三個內角的等式證明海倫公式.

例2 △ABC的三邊分別為a,b,c,p為半周長,外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,證明:

(2)由(1)的證明易得.

例3 △ABC的三邊分別為a,b,c,外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,證明:

(1)acosA+bcosB+ccosC=4RsinAsinBsinC;

證明：(1)由等式1(2)得acosA+bcosB+ccosC=2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC

=R(sin2A+sin2B+sin2C)=4RsinAsinBsinC.

例4 △ABC的三個內角分別為A,B,C,證明:

(1)cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC+cscAcscBcscC;(2)tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=secAsecBsecC+1.

=cotA+cotB+cotC.

(2)由(1)得cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC+cscAcscBcscC,兩邊同時除以cotAcotBcotC得tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=secAsecBsecC+1.