典例細研展思維 變式推廣促能力
——以一道高考題為例

江蘇省連云港外國語學校 (222006) 崔麗影

這道試題從它的問題背景和難易程度來看，顯然相當平凡，不見得有多大的“新奇”之處，但剖析其內涵，挖掘其內在的功能，可引發眾多的思考.

1 思解法

“問題是數學的心臟”，學習數學的過程與解題緊密聯系的，而數學能力的提高在于解題的質量而不是解題的數量.所以要重在研究解題的方向和策略.要善于從題目的條件和求解(求證)的過程中提取有用的信息，作用于記憶系統中的數學認知結構，提取相關的知識，推動題目信息的延伸，歸結到某個確定的數學關系，從而形成一個解題的行動序列這就是解題方向.題目信息與不同數學知識的結合，可能會形成多個解題方向.

(1)代換

(2)構造

評注：巧妙地構造定必分點坐標公式，引入參數λ，再利用基本不等式求解.

(3)轉化湊項

評注：將變量x轉化成y，進行湊項，使積為定值，利用基本不等式求解.

(4)三角換元

評注：根據已知條件，通過三角恒等變形，創造基本不等式成立的條件，從而進行解題.

(5) 連續使用基本不等式

評注：兩次使用基本不等式時，一定要注意前后等號要同時成立.

(6)引入參數(加0法)

評注：引入參數m，巧妙地構造基本不等式進行求解.

(7)構造一元二次方程，利用根的判別式

評注：引入參數a，巧妙地構造關于a的一元二次方程，由根的判別式求解.

(8)利用平均數代換，構造方程

評注：利用平均數代換，轉化成關于t的方程，利用根的判別式進行求解.

(9)源于課本，巧用不等式鏈

2 思變形

反思是對所解的數學問題進行發散性擴展或是收斂性的概括.發散性擴展是指改變習題條件、擴大外延的一題多變的思考，培養發散性思維;而收斂性的概括則是對所解的題目從結構上和思路上進行抽象、概括和歸納，以便形成更高層次上的題型模式和數學思維模式.因此，要求教師對習題、試題進行“深加工”，重視對其的挖掘、引申和改編，進行創造性地設計.從而由上面的分析及求解過程可得如下結論：

3 思運用

應用某些習題的結論和拓廣所得的新知識解決問題，不僅能使知識深化，而且也有可能使解題方法巧妙、簡捷.從而使學生體會創造的美感，激發學生的創造熱情，培養自覺、自主的創造品質.

(1)求二元一次式的最值

(2)求二元二次式的最值

例2 已知x、y滿足x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最值.

(3)求二元無理式的最值

(4)求二元分式函數的最值

4 思推廣

將定理的應用范圍可以推廣到三元及n元函數最值問題

在數學教學中，若老師有目的、有意識地引導學生研究一些典型習題、考題，揭示其豐富的內涵，則不僅有利于學生掌握基礎知識，而且對于培養應變能力，開拓思路，活躍思維都是有益的.