“隱零點”問題三探

浙江省紹興稽山中學 (312000) 韓 琦

1.一探基本思路

例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+2),證明f(x)> 0.

從上可以看出，處理“隱零點”問題思路是：

(1)用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，列出零點方程f′(x0)=0，并結合f(x)的單調性得到零點的范圍；

(2)以零點為分界點，說明導函數(shù)f′(x)的正負，進而得到f(x)的最值表達式；

(3)將零點方程適當變形，整體帶入最值式子進行化簡證明.

2.二探深化思想

分析：對含參的函數(shù)f(x,a),(a為參數(shù))“隱零點”問題, 同基本思路，不妨設方程f′(x,a)=0的根為x0,但要注意確定這個x0的合適范圍,這個也往往和a的范圍有關.事實上，把“隱零點”問題轉化為“顯零點”問題也是很好的方法.

3.三探變異思維

例3 (2013全國新課標卷Ⅱ-21-2)已知f(x)=ex-ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m≤2時，證明f(x)> 0.

解：(1)略；(2)當m≤2時，x∈(-m,+∞) ，ln(x+m)≤ln(x+2)，從而ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，故只需證明h(x)=ex-ln(x+2)>0 即可.

參照例1解答過程，即可得證.

評注：本例就是把問題通過放縮等數(shù)學方法演變成“隱零點”問題，然后求解.

評注：本題的難點在于找到零點x0與a的聯(lián)系.利用解決“隱零點”問題的思路,可以較好地把問題化難為易,化繁為簡.