一道高考?jí)狠S小題的多解探究與反思

云南大學(xué)附屬中學(xué)星耀學(xué)校 (650092) 黃 波

一、試題呈現(xiàn)

(2020年全國(guó)Ⅲ卷理12)已知55<84，134<85，設(shè)a=log53,b=log85,c=log138，則( ).

A.a

C.b

二、試題分析

本題結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)潔，以指對(duì)數(shù)為載體考查比大小問題，綜合考查了指對(duì)數(shù)運(yùn)算，比較大小的常規(guī)思路與方法，在考查通性通法的同時(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提出了更高的要求，重點(diǎn)考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

三、解法賞析

下面例舉幾種常用比較a,b大小關(guān)系的解法.

評(píng)析：比較兩數(shù)的大小關(guān)系，作差法是常見的方法，屬于通性通法.本題作差法容易想到，但使用基本不等式難易想到，此時(shí)就需要學(xué)生要有邏輯推理能力，并對(duì)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則要有深刻的認(rèn)識(shí).對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的基本法則是加法與減法，在乘積運(yùn)算lg3·lg8時(shí)需考慮轉(zhuǎn)化為加法與減法運(yùn)算，需要構(gòu)建加減與乘積的關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)想到基本不等式.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要重視邏輯推理思維能力的培養(yǎng)，步步要有章可循，有理可講.

評(píng)析：比較兩數(shù)的大小關(guān)系，作商法是常見的方法，屬于通性通法.使用作商法也會(huì)涉及乘積運(yùn)算lg3·lg8的處理，方法與上述相同.

解法四：(同倍放大)4a=log534=log581log883=3.故4a<4b，即a

評(píng)析：一般比較大小問題數(shù)與數(shù)差異性都不大，此題a,b的值差異很小，很難發(fā)現(xiàn)a,b的大小關(guān)系，為了容易發(fā)現(xiàn)差異性，可以同倍放大，直到具有明顯差異并能夠比較大小為止.所以，在兩數(shù)值差異性較小的情況下，同倍放大是一種十分直觀而又有效的方法.

評(píng)析：由于此題屬于函數(shù)模塊，所以解決問題要有函數(shù)的觀點(diǎn)，函數(shù)的思想.比較大小要聯(lián)想到函數(shù)的單調(diào)性，選擇構(gòu)造合適的函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性比較大小，該思想在2020年全國(guó)Ⅰ,Ⅱ卷中都有明顯的體現(xiàn).此題由于對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都在變，所以對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)都要有自變量，但是通過觀察很難構(gòu)造函數(shù)，所以可以選擇待定系數(shù)法，設(shè)f(x)=logkx+mx，利用兩組數(shù)據(jù)求出解析式，由于無法直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以采取求導(dǎo)的方式判斷函數(shù)的單調(diào)性，再通過單調(diào)性比較大小.

四、方法歸納

對(duì)于比較大小問題，常用的方法有作差法、作商法、直接法、間接法、二分法、同倍放大、構(gòu)造函數(shù)等方法，要掌握住核心知識(shí)和知識(shí)的核心，同時(shí)需要重視同性通法，邏輯思維能力培養(yǎng)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，形成模塊觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要以提升數(shù)學(xué)思維能力為目標(biāo).