排列組合中的分組分配問題微課教學

江西省南昌二中 (330013) 游 佳

排列組合的學習中經常遇到分組分配問題，尤其是部分均勻分組或分配問題．學生在求解這類問題時，常常會產生錯誤的解法：一是將其中均勻的部分重復計數；二是將分組、分配問題混淆．如何更好地處理這類問題，筆者進行了一堂微課教學.

引例1 疫情防控期間，我市某醫院將5名援鄂醫務工作者分配到3個不同的科室工作，每個科室至少分配一名醫務工作者的方案種數為( ).

A.540 B.300 C.180 D.150

上述計數方法中是否出現了重復計數呢？我們不妨將5名醫務工作者用a,b,c,d,e表示，三個不同的科室用A,B,C表示．舉個例子,按上述計數方法，如果我們先安排了a,b,c分別去科室A,B,C，再安排d,e分別去科室A,B，則ad,be,c分別被安排在A,B,C三個不同的場館．同理，如果先安排了d,e,c分別去科室A,B,C，再安排a,b分別去科室A,B，則da,be,c分別被安排在A,B,C三個不同的場館．很明顯這兩種安排方案是相同的，也就是說在上面的計數方法中，對這種方案重復進行了計算．那怎樣計算才可以避免重復呢？

不難發現，這類問題是利用分步乘法計數原理，將第一步結果數乘以第二步結果數得到最終方法數的．學生的普遍錯誤原因在于混淆分組分配問題，并且對于分組問題中的部分均勻分組沒有理解到位，在計算過程中往往會出現重復計數．

一般地，將n個不同的元素按某些條件分成k組，稱為分組問題．分組問題有平均分組,不平均分組和部分平均分組三種情況．分組問題中的平均分組是無序的,各組方法數相乘時產生了順序,故應消序(即除以平均組數的全排列);不平均分組是有序的,不需要消序;而部分平均分組應局部消序．

同樣地，將n個不同的元素按某些條件分配給k個不同的對象，稱為分配問題．分配問題有定向分配和不定向分配．

分組問題和分配問題是有區別的,前者組與組之間只要元素個數相同是不區分的,后者即使2組元素個數相同,但因對象不同,仍然是可區分的．對于后者一般我們按照先分組后排列(分配)的原則計數．所以求解排列組合綜合問題為通常要遵循”先分組再分配”的原則,分組時應注意消去均勻部分的重復計數,定向分配問題可以理解為依次選擇．

例1 甲，乙，丙三項任務，甲任務需2人承擔，乙，丙各需1人承擔，現從10人中選派4人承擔這三項任務，則不同的選法種數有多少種？

實際上，這是一道典型的排列組合計算問題，計算方法不只是以上兩種．但求解時往往會將分組分配問題混為一談，察覺不出其中的部分平均分問題，也容易出現重復計數的結果．主要原因是沒有按照分類加法計數原理、分步乘法計數原理去分析問題特征，通常是幾個組合數、排列數的疊加，不理解其中的實際意義，難以達到觸類旁通．

例2 四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？

變式四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有兩個空盒的放法又有多少種？

掌握了以上求解方法后，同學們在處理排列組合中此類問題時也就不易出錯了.

鞏固練習：設集合A={1，3，5，7，9}，B={0,2，4，6}，A為定義域，B為值域，則從集合A到集合B的不同函數有多少個？

綜上，筆者通過本微課對分組分配問題求解時采用“先分組再分配”求解的學習原則，教學時沒有特別強調如何套用模型，而是引導學生在分析不同情境下如何按照分步乘法計數原理，理解這類問題的求解步驟，并在各步驟中進行準確分類．在此基礎上再按照先分組后分配的原則準確分組，觀察其中是否含有包含平均分組問題，從而考慮對均分的組數進行消序．由此達到觸類旁通，靈活處理排列組合中的分法分配問題的目標.