凸顯思維過程 落實核心素養
——以“函數的奇偶性(一)”教學為例

福建省閩清高級中學 (350800) 陳國鴻

數學概念是數學課堂教學的核心與基礎，對培養學生的“四基”、“四能”，提升數學核心素養有著無法替代的作用.概念學習的主要任務就是要引導學生主動參與概念產生、發展的過程，不僅需要知道“是什么”，還應明確“為什么”.章建躍博士說,“概念教學的核心是引導學生開展概括活動，將凝結在數學概念中的數學思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性、歸納得出數學概念等思維活動而獲得概括過程.”[1]因此在數學教學中，教師要從數學概念發生、發展的關鍵點、學生思維的困惑點、數學核心素養的提升點，設置恰時恰點的問題，激發學生自主參與，使學生真正通過自己的思維，深入理解概念的本質屬性，完善認知結構，發展數學核心素養.筆者以新教材《普通高中教科書數學必修第一冊(A版)》“函數的奇偶性”(第一課時)教學為例，談談在概念教學中引導學生突出思維教學，落實數學核心素養的幾點思考.

1 教學案例呈現

1.1 創設數學“內部”情境，引入課題

追問1 換一個角度觀察這兩個函數圖象，還有其他的特征嗎？

生眾：這兩個函數圖象都具有對稱性.

圖1

圖2

追問2 圖1與圖2兩個函數圖象都具有對稱性，那么圖3和圖4這兩個函數圖象呢？

圖3

圖4

學生發現圖3右側有一個“洞”，不對稱.有的學生認為圖4對稱，有的認為圖4也不對稱.

教師利用幾何畫板對圖4進行“對折”，證實不對稱.

追問3 僅僅通過觀察能夠準確地判斷函數圖象的對稱性嗎？怎樣才能精準地刻畫函數圖象的對稱性呢？

設計意圖：設置數學“內部”情境，從學生熟悉且具有典型對稱性的二次函數與反比例函數圖象入手，引導學生用數學的眼光觀察、分析；通過反例激發學生的認知沖突，使學生認識到用數量關系刻畫對稱性的必要性，激發學生的探究欲望.

1.2 從具體到抽象, 催生概念

問題2 請用列表法畫出函數f(x)=x2與g(x)=2-|x|的圖象,并思考這兩個函數圖象有哪些共同特征？

生1：它們都關于y軸對稱.

生2：我畫函數g(x)=2-|x|的圖象時，只取了6個特殊點，所以不能肯定g(x)=2-|x|的圖象是否會關于y軸對稱.

師：你取哪幾個點呢？

生2：(1,1),(-1,1)，(2,0),(-2,0)，(3,-1),(-3,-1).

師：你為什么想到取這6個點？

生2：因為點(1,1)和點(-1,1)關于y軸對稱，點(2,0)和點(-2,0)，點(3,-1)和點(-3,-1)也分別關于y軸對稱.

師：那么應怎樣表達出上述這種函數關系呢？

生3：g(-1)=g(1),g(-2)=g(2),g(-3)=g(3).

師：同學們還能找到像這樣關系的其它的等式嗎？

師：能否用符號進行概括呢？

生5：g(-x)=g(x).

師：很好！用變量代替常數.對定義域R中任意的一個x,g(-x)=g(x)都會成立嗎?怎樣驗證這個猜想呢?(學生思考)

生6：對于定義域R中任意一個x，由于g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)，因此g(-x)=g(x)成立.

師：生6從代數角度運用函數解析式進行驗證，很有見地.我們稱這樣的函數為偶函數.

問題3 我們知道如果函數f(x)的圖象關于y軸對稱，那么對于任意的x∈R，函數f(x)滿足f(-x)=f(x)；反過來，若對于任意的x∈R，函數f(x)滿足f(-x)=f(x)，那么f(x)的圖象一定關于y軸對稱嗎？

生7：如果函數f(x)滿足f(-x)=f(x)，在f(x)的圖象上任取一點P(x,f(x))，則點P關于y軸的對稱點為點P′(-x,f(x)) ，由f(-x)=f(x)得點P′的坐標可以寫P′(-x,f(-x)) ，顯然該點也在f(x)圖象上，故f(x)的圖象關于y軸對稱.

師：太棒了！因此，“函數圖象關于y軸對稱”與“對于任意的x∈R，函數f(x)的解析式滿足f(-x)=f(x)”等價.對于這種函數，大家知道定義域有什么特點嗎？

生眾：函數f(x)的定義域關于原點對稱.

問題4 請從“數”的角度給出偶函數的定義.

(師生共同歸納偶函數的定義)

問題5 類比偶函數的定義，同學們能給出奇函數的定義嗎？

設計意圖：從數與形兩個角度對偶函數進行刻畫，引導學生在自身實踐體會的基礎上，抽象概括出偶函數概念，體驗數學知識鮮活的“生長性”，培養學生抽象概括能力.

1.3 數學運用，深化理解

例1 判斷下列函數的奇偶性：

設計意圖：鞏固奇(偶)函數概念，并引導學生從例1歸納得到：由函數的奇偶性可把函數分為四類.

問題6 大家能歸納出判斷函數奇偶性需要幾個步驟嗎？

例2 (1)判斷函數f(x)=x3+x的奇偶性；(2)圖5是f(x)=x3+x的一部分圖象，你能根據f(x)的奇偶性將圖象補充完整嗎？

圖5

拓展對于函數f(x)=x3+x，是否可以通過添加某些項，使得f(x)=x3+x仍是奇函數呢？既是奇函數也是偶函數？既不是奇函數也不是偶函數？

設計意圖：學生并不熟悉函數f(x)=x3+x的圖象，通過拓展，引導學生從解析式入手,探求f(-x)與f(x)的關系,利用定義進行判斷，深化對函數奇偶性概念的理解.

1.4 總結反思，提升高度

問題7 回顧本節課的學習過程，我們是如何對函數奇偶性進行研究的？

問題8 大家對偶函數和奇函數的特征有那些認識？能總結出偶函數和奇函數的相同點和不同點嗎？

問題9 如果奇(偶)函數在(0,+∞)單調遞增，同學們可以得到它在(-∞,0)上的單調性嗎？

設計意圖：引導學生對本節課所學的內容進行反思，比較偶函數和奇函數的異同，領悟函數的奇偶性在研究問題中的作用，在總結反思中提升學生的思維高度.這樣，學生收獲的不僅僅是一個定義，而要深遠得多.

2 教學反思

2.1 精心設置問題串，孕育核心素養

“問題串”是指教師立足概念建構的邏輯性，圍繞課堂教學目標精心設置的一組驅動性問題.恰當的設問，能更簡潔有效地驅動數學教學過程，激發學習興趣、啟迪思維.因此，在課堂教學中，教師應深入挖掘數學教材中隱性的精神價值和營養成分，依據學生學習的“最近發展區”原理，創設思維含量高、指向性明確的驅動性問題，使這些問題成為引發學生思考的誘因，成為課堂有效生成的驅動力.這對于形成系統的數學思維方式，提升數學核心素養有著重要作用.本課例立足概念建構的邏輯性，以初中已學過的圖形對稱為載體，從學生熟悉的幾個特殊函數入手，精心設計層次清晰的遞進式問題串，順應學生的思維發展，循序漸進地展開探究，層層深入.在引導學生主體參與中，讓動手操作、動腦思維和語言表達有機結合，引導學生經歷概念的引入、生成、應用與反思等階段.通過親身體驗，學生不僅品嘗到了“發現”的樂趣，而且理清了“函數奇偶性”概念的本質屬性，優化了思維品質，實現了“低起點，高落點”的教學目標.

2.2 凸顯思維過程，培養核心素養

數學概念的產生和發展是一個數形結合的思維過程，是將數學概念中凝結的數學家的思維活動打開，借助若干典型實例，通過觀察、比較、抽象、概括等思維活動，親歷數學概念的發現、抽象和概括過程.因此概念教學應通過學習活動，突出學生的思維過程，啟發學生 “想什么” “怎么想”，讓學生經歷從自然語言、圖形語言到符號語言的“數學化”過程，也是一個將函數圖象數量化的思維過程，從理解、感悟到“再創造”的過程中實現深度學習.本課例有效設計學生的思維活動，激發學生的認知沖突.通過不斷追問，引導學生從“數”角度思考，構建出函數模型f(-x)=f(x)，將圖象的對稱性問題轉化為函數的數量關系問題，并逐步將學生的思維引向深入，引導學生從代數角度給出嚴格證明，完成對“函數奇偶性”概念的建構.這樣的概念生成過程是自然而鮮活的，還原了“春風化雨、潤物無聲”的本來面目.在數學應用環節，通過問題與拓展，讓學生通過添加項，構造不同的函數，學生通過思維的交鋒與碰撞，加速了概念的內化，發展了直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養.

2.3 重視總結反思，生長核心素養

課堂總結并非是讓學生簡單地復述本節課內容，而是引導學生對所學習的知識進行反思，加深學生對知識的內化和掌握、對數學思想方法的認識與感悟，使學生能運用數學思想方法分析和解決數學問題，并提煉出研究相關問題的一般方法.本課例通過三個明確的問題，引導學生對函數奇偶性的研究過程進行總結反思，并引導學生深入思考函數的單調性與函數的奇偶性之間的聯系、總結研究函數性質的一般方法；使學生能夠建立起對函數的整體性認識，并體會到利用函數的奇偶性，可收到“事半功倍”之功效，從而深刻體會研究“函數奇偶性”的必要性.學生在總結反思中，知識與能力自然遷移，從“見山是山”的淺層認識提升到“山外有山”的境界，思維向更高層次發展，數學核心素養得以落地生根.

數學核心素養的培養是一個循序漸進的過程，是學生在學習過程中逐步形成與發展的.在概念教學中，教師應精心組織課堂教學活動，打造“重親身體驗、重思維參與、重知識建構”的活力課堂，為學生的學習提供“支點”與“腳手架”，引領他們在探究活動中有效提升思維深度與解決問題的能力，從而讓數學核心素養落地生根.