化簡步步為營　求值洞察類型

謝燕

分式的化簡求值題是中考中的常見題型之一，是同學們需要掌握的重點內容。同學們只要熟練掌握因式分解、通分、約分，注意符號和正確的運算順序，就能順利地進行化簡;只要仔細觀察題目給出的求值條件，按照正確的方法代入運算，就能輕松得到準確的結果。

今天，老師就帶同學們一起來復習分式化簡的一般步驟，看看分式化簡求值的幾種常見類型。

一、穩扎穩打，步步為營

例1 （2020·江蘇南通）計算：[x-yx]÷（x+[y2-2xyx]）。

解：原式=[x-yx]÷（[x2x]+[y2-2xyx]）

=[x-yx]÷[x2-2xy+y2x]

=[x-yx]?[x（x-y）2]

=[1x-y]。

【點評】這是一道分式化簡題，化簡過程按照先乘除后加減，有括號的先算括號內的運算順序。本題先進行括號內的加減運算。括號內是整式與分式的加減，應先將整式通分成與分式同分母的分式形式，這是分式化簡中常見的類型，然后進行同分母分式加減;接著進行乘除運算，本題是除法，所以要倒除為乘，然后進行分式乘法運算，本質是約分，把最后的結果化到最簡。這樣按照解題步驟，一步一步，穩扎穩打，就能得到正確的結果。

二、直接代入，簡單求值

例2 （2020·江蘇宿遷）先化簡，再求值：[x-2x]÷（x[-4x]），其中x=[2]-2。

解：原式=[x-2x]÷（[x2x][-4x]）

=[x-2x]÷[（x+2）（x-2）x]

=[x-2x]?[x（x+2）（x-2）]

=[1x+2]。

當x=[2]-2時，

原式=[12-2+2]=[12]=[22]。

【點評】本題按照題目要求，先化簡，再求值。在得到最簡結果之后，將x的值直接代入求值就能得到正確答案。本題給出的值含有根式，需要進行分母有理化，保證最后算出的值是最簡根式。

三、整體代入，巧妙求值

例3 （2020·山東菏澤）先化簡，再求值：（2a-[12aa+2]）÷[a-4a2+4a+4]，其中a滿足a2+2a-3=0。

解：原式=（[2a2+4aa+2][-12aa+2]）÷[a-4（a+2）2]

=[2a2-8aa+2]·[（a+2）2a-4]

=[2a（a-4）a+2]·[（a+2）2a-4]

=2a（a+2）

=2a2+4a。

∵a2+2a-3=0，

∴a2+2a=3，

∴原式=2（a2+2a）=2×3=6。

【點評】在化簡得到結果之后，根據題目給出的a2+2a-3=0條件，同學們會想，該怎么求值呢？或許有的同學想通過解方程求出a的值，然后代入求值;或許有的同學通過仔細觀察發現了什么。看到題目后，你腦子里閃現的任何一個念頭都是好的，都可以進行嘗試。想解方程的同學可以求出a的值為-3或1，然后分別代入，得到的結果都是6;仔細觀察的同學或許會發現只要將方程適當變形便能得到a2+2a這個整體的值是3，整體代入便能化繁為簡。問題解決了，我們再回頭看一看，如果以后再遇到這類問題，怎么處理更好呢？老師相信同學們心里已經有了正確的答案。

四、謹慎取值，正確求值

例4 （2020·四川遂寧）先化簡：（[x2+4x+4x2-4]-x-2）÷[x+2x-2]，然后從-2≤x≤2范圍內選取一個合適的整數作為x的值代入求值。

解：原式=[[（x+2）2（x+2）（x-2）]-（x+2）]·[x-2x+2]

=（[x+2x-2]-[x2-4x-2]）·[x-2x+2]

=[-x2+x+6x-2]·[x-2x+2]

=[-（x+2）（x-3）x-2]·[x-2x+2]

=-（x-3）

=-x+3。

∵x≠±2，∴可取x=1，

∴原式=-1+3=2。

【點評】本題的分式化簡要注意第一步中將-x-2化成分式形式之前有個添括號，第三步中同分母分式相加減時分數線具有括號功能。將分式化簡到最簡后，同學們會面臨一個選值問題，其本質是考查原分式及運算過程中出現的那些分母取值不能為0，這樣就很容易確定規定范圍內的正確取值，從而得到正確的結果。

在分式的化簡求值時，只要我們按照步驟，步步為營，注意觀察，掌握方法，就一定能順利地求得正確的結果。

（作者單位：江蘇省常熟市第一中學）