一元一次不等式中考熱點例說

沈晶晶

一元一次不等式（組）是初中數學的重要內容之一，是各地中考的必考考點。老師以2020年中考試題為例，歸納出以下幾個熱門考點，以期幫助同學們更好地復習研究。

考點一：不等式的基本性質

例1 （2020·貴州貴陽）已知a

A.a-1-2b

C.[12]a+1<[12]b+1 D.ma>mb

【解析】A選項在不等式a-2b。C選項在不等式amb;若m=0，則ma=mb，有三種可能。故選D。

【點評】解決此類問題的關鍵是先判斷出選項中的不等式的兩邊是對已知不等式的兩邊如何變形的，再根據不等式的性質作出判斷即可。

考點二：在數軸上表示不等式（組）的解集

例2（2020·湖南益陽）將不等式組[x+2≥0，x<1]的解集在數軸上表示，正確的是（）。

【解析】解不等式x+2≥0，得x≥-2，又x<1，∴不等式組的解集為-2≤x<1。故選A。

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集的方法。正確求出每一個不等式的解集是基礎，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵。同時，解集在數軸上表示時，我們還要注意臨界點是空心點還是實心點。

考點三：求待定字母的取值范圍

例3 （2020·甘肅天水）若關于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數解，則a的取值范圍為（）。

A.-7

C.-7≤a<-4 D.-7

【解析】先解不等式。∵3x+a≤2，∴3x≤2-a，則x≤[2-a3]。

∵不等式只有2個正整數解，∴不等式的正整數解為1、2，則2≤[2-a3]<3，解之可得-7

變式：若關于x的不等式組[2（x-1）>2，a-x<0]

的解集是x>a，則a的取值范圍是（）。

A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2

【解析】先解關于x的不等式組[2（x-1）>2，a-x<0，]得[x>2，x>a。]由于不等式組的解集是同大取大，借助數軸，得出答案a≥2。臨界值a能否等于2，可將a=2代入不等式組中進行驗證。故選D。

【點評】解決這類問題的思路是先求出不等式（組）的解集，有待定字母的不等式用含待定字母的代數式表示，再由解集的特征要求來確定待定字母的取值范圍。同時可以借助數軸進行逆向分析。在特殊值或邊界值的取舍上，一定要仔細甄別。

考點四：一元一次不等式與一次函數的綜合應用

例4 （2020·湖南湘潭）如圖，直線y=kx+b（k<0）經過點P（1，1），當kx+b≥x時，則x的取值范圍為（）。

A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1

【解析】本題可以直接用代數方法求解。將P（1，1）代入y=kx+b（k<0），可得k=1-b，再代入kx+b≥x變形整理，得-bx+b≥0。由圖像可知b>0，∴x-1≤0，∴x≤1。故選A。

由于直線y=x也經過P點，所以我們如果從數形結合的角度來看一元一次不等式kx+b≥x的解集，就是找出直線y=kx+b落在直線y=x上方的部分，也就是直線y=kx+b上位于點P的左側部分的點的橫坐標所對應的自變量的取值范圍。

變式：已知關于x的函數y=kx+3的圖像經過點（2，0），則關于x的不等式kx+3>0的解集是。

【解析】從數形結合的角度來看不等式kx+3>0的解集，實際上就是一次函數y=kx+3的圖像在x軸上方部分所對應的自變量的取值范圍。故答案為x<2。

【點評】這類不等式與函數相結合的題型可以說不是解出來的，而是看出來的。我們要深刻理解不等式（組）的本質，準確把握函數值與方程的解、不等式（組）的解或解集之間的內在聯系，才能靈活快速地解決相關問題。

考點五：一元一次不等式組的應用

例5 （2020·山東濟寧）為加快復工復產，某企業需運輸一批物資。據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱。

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資。

（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨車一次需費用3000元。若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元，請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少。最少費用是多少？

【解析】（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資。由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱”可列方程組，得[2x+3y=600，5x+6y=1350，]

解得[x=150，y=100。]

（2）設有a輛大貨車，（12-a）輛小貨車。由“運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元”可列不等式組，得

∴6≤a<9，

∴整數a=6，7，8。

當有6輛大貨車、6輛小貨車時，費用=5000×6+3000×6=48000元;

當有7輛大貨車、5輛小貨車時，費用=5000×7+3000×5=50000元;

當有8輛大貨車、4輛小貨車時，費用=5000×8+3000×4=52000元。

∵48000<50000<52000，

∴當有6輛大貨車、6輛小貨車時，費用最少。最少費用為48000元。

【點評】利用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實際問題，是中考中最常見的題型。本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組;（2）根據各數量之間的不等關系，正確列出一元一次不等式組。在利用不等式（組）解決問題時，求得不等式（組）的解集后，要善于根據實際問題的常規要求及附加要求，全面而完整地對解進行取舍。

（作者單位：江蘇省儀征市實驗中學）