隱藏在等量關系中的不等關系

李蘇萍

數學通常用數字與符號來描述事物，從某種角度看，屬于形式科學。當我們將概念或生活中的情境轉化為用數學語言來表述時，因觀察的角度和描述的方式不同，往往會涉及多種關系。如方程是表示相等關系的，但在學習方程概念、性質以及運用過程中，經常也會涉及不等關系，如果能挖掘出這種隱性的關系，就可以較全面透徹地理解問題。

一、藏在方程的概念中

例1 關于x的一元二次方程（k-4）x2

-2x+1=0在實數范圍內有解，求k的范圍。

解：根據題意，得

[k-4≠0，b2-4ac=4-4（k-4）≥0，]

解這個不等式組，得

k≤5且k≠4。

【點評】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次項系數不為0是對其形式上的必要補充。很多同學對括號內的補充內容重視不足，解題時經常忽視。從此以后，對概念中“隱藏”在括號內的條件，我們在解題時要格外留意。

例2 若關于x的方程-2x+[m2017-x]+4020=0存在整數解，則正整數m的所有取值的和為 。

解：將方程變形，得[m2017-x]=2x-4020。

∵m是正整數，∴2x-4020≥0，解得x≥2010。

又∵2017-x≥0，得x≤2017，∴2010≤x≤2017。

若x=2017，則m無解。

∴當x≠2017時，m=[2（x-2010）2017-x]。令t=2017-x，則m=[2（7-t）t]。

∴0

當t=1時，m=12;當t=4時，m=3。

所以12+3=15。

【點評】本題乍一看，是求無理方程的解，但其中二次根式中被開方數的取值范圍才是解題關鍵，是容易被忽視的“隱藏條件”。可利用被開方數大于等于0和m為正整數這些題目中的隱藏條件，將x的值變為有限可能，再一一取值驗證，從而求出所有m的值。

由上述兩題我們可以發現，由于方程概念的嚴謹性，方程本身就含有不等關系。

二、藏在數的實際意義中

例3 小明用12元買軟面筆記本，小麗用21元買硬面筆記本。已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴1.2元，小明和小麗能買到相同數量的筆記本嗎？

解：設軟面筆記本每本x元，則硬面筆記本每本（x+1.2）元。

若小明和小麗能買到相同數量的筆記本，則[12x]=[21x+1.2]，解這個方程，得x=1.6。

經檢驗，x=1.6是所列方程的解。

但按此價格，他們都買了7.5本筆記本，不符合實際意義。

答：小明和小麗不能買到相同數量的筆記本。

【點評】本題主要考查分式方程的應用，但題目中隱藏了不等關系，即實際生活中，筆記本的數量只可以是正整數，它排除了分數、負數、無理數等可能。所以用方程解決問題往往需要雙重檢驗：第一，檢驗方程的解是否符合方程本身的特征;第二，檢驗方程的解是否符合實際意義。

例4 如圖1，某農場老板準備建造一個矩形羊圈ABCD。他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長度為25m，另外三面用長度為50m的籬笆圍成（籬笆正好全部用完，且不考慮接頭的部分）。農場老板想將羊圈ABCD的面積建造成320m2，他的這個想法能實現嗎？為什么？

解：不能。

設所圍矩形ABCD的邊AB為x米，則邊AD為（50-2x）米。其中，[252]

根據題意，得

x·（50-2x）=320，即x2-25x+160=0。

∵b2-4ac=（-25）2-4×1×160=-15<0，

∴上述方程沒有實數根。

因此，圍成的矩形羊圈的面積不可能為320m2，農場老板的想法不能實現。

【點評】本題涉及一元二次方程的運用，其中農場老板的想法是否可行是由一元二次方程根的情況來決定的。本題中，由一元二次方程根的判別式b2-4ac<0得出方程沒有實數根，反映成實際生活，即農場老板的想法不可能實現。

例5 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=[7]，AC=2，過點B作直線m∥AC，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△A′B′C（點A、B的對應點分別為A′、B′），射線CA′、CB′分別交直線m于點P、Q。問在旋轉過程中，當點P、Q分別在CA′、CB′的延長線上時，四邊形PA′B′Q的面積是否存在最小值。若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積;若不存在，請說明理由。

解：如圖3，設PB=x，BQ=y，PQ=a。

由△PBC∽△CBQ，得BC2=PB·BQ。

從而[x+y=a，xy=3。]

消去y，得x2-ax+3=0。

由Δ=a2-12≥0，得a≥[23]，

即當x=y=[3]時，PQ取得最小值，

則S四邊形PA′B′Q=S△PCQ-S△A′CB′

=[32]PQ-[3]，

所以四邊形PA′B′Q的最小面積=[32]×[23]-[3]=3-[3]。

【點評】本題的難點在于先在變中找不變，再根據不變找出變化的范圍。如圖4，隨著△ABC繞著點C旋轉，各線段、圖形的面積的大小也在不斷地變化，但PQ=PB+BQ、△PBC∽△CBQ這樣的關系卻始終沒變。再運用“消元”思想，將兩個關系“合二為一”，得出PB、PQ的等量關系式。此時，可根據方程的特征，將其看作是含參數a的一元二次方程，再利用根的判別式這個較隱蔽的不等關系，得出a的取值范圍，從而得解。

數學是一門嚴謹的學科，對于同一個問題的表述有時涉及多種數量關系。這些關系有些較為明顯，有些較為隱蔽。這就需要同學們平時解題時，做個勤于思考、善于挖掘的有心人。

（作者單位：江蘇省儀征市實驗中學東區校）