利用整體思想巧解方程（組）與不等式（組）

王萍

利用整體思想解方程（組）或不等式（組），是指對問題的整體結構進行分析，發現問題的整體性結構特征，再用“集成”的眼光，考慮將其中某些數或式看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意義的整體處理，使方程（組）或不等式（組）化繁為簡，從而快速有效地解決問題。下面圍繞整體思想方法列舉幾道題，供同學們學習時參考。

一、整體代入

例1 解方程組[3x+5y=21，①x+2y=8。? ? ? ? ②]

【分析】此題我們一般會用代入消元法消去x，但計算較復雜。如果將方程①變形為3x+6y=y+21，即3（x+2y）=y+21，再將方程②整體代入，即可快速解決問題。

解：由①，得3x+6y=y+21，

即3（x+2y）=y+21。③

將②代入③，得3×8=y+21，

解得y=3。

將y=3代入②，得x=2。

所以原方程組的解是[x=2，y=3。]

例2 若（2x+3y-m）2+[2x+2-3y]=0，4x2-9y2+2<0，求m的取值范圍。

【分析】我們通常由偶次方和絕對值的非負性得[2x+3y-m=0，2x+2-3y=0，]再用加減消元法解出[x=m-24，y=m+26，]最后將x、y直接代入不等式中計算。不難發現此法較為復雜。此題如果因式分解后整體代入，便可將計算化繁為簡。

解：∵（2x+3y-m）2+[2x+2-3y]=0，

∴[2x+3y-m=0，2x+2-3y=0，]

解得[2x+3y=m，2x-3y=-2。]

∵4x2-9y2+2<0，

∴（2x+3y）（2x-3y）+2<0，

即-2m+2<0，

解得m>1。

二、整體換元

例3 解方程組[x+3y2+x-y4=3，x+3y4+x-y2=0。]

【分析】直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯。如果把方程中的x+3y和x-y分別看作一個整體，通過整體換元即可解決問題。

解：令m=x+3y，n=x-y，

原方程組化為[m2+n4=3，m4+n2=0，]

解得[m=8，n=-4。]代入m=x+3y，n=x-y，

得[x+3y=8，x-y=-4，]解得[x=-1，y=3。]

所以原方程組的解是[x=-1，y=3。]

例4 解方程：144x2+6x-5=0。

【分析】這是一元二次方程，可用配方法或因式分解法求解，但計算量大且容易出錯。可設6x=y，將系數的絕對值化小，從而使題目簡單化。通過整體換元將原方程化成4y2+y-5=0，解出y，從而求出x。

解：設6x=y，得4y2+y-5=0，

解得y1=[-54]，y2=1，

∴x1=[-524]，x2=[16]。

例5 解方程：[2（x+1）2x2][+x+1x-]6=0。

【分析】通過觀察可設[x+1x]=y，將原方程化為2y2+y-6=0，將分式方程轉化為整式方程再解，較為簡單。

解：設[x+1x]=y，得2y2+y-6=0，

解得y1=-2，y2=[32]。

當y1=-2時，[x+1x]=-2，解得x1=[-13];

當y2=[32]時，[x+1x]=[32]，解得x2=2。

經檢驗：x1=[-13]，x2=2是原方程的解。

三、整體加減

例6 已知x、y滿足方程組[x+3y=7，①3x+y=5，②]則x-y的值為。

【分析】本題可用加減消元法解出x、y的值，代入x-y求值即可解決。但仔細觀察，方程①②中x、y的系數是顛倒的，這樣的方程組我們稱之為輪換式方程組。可以通過②-①得到2x-2y=-2，從而求得x-y的值。

解：由②-①，得2x-2y=-2，

解得x-y=-1。

例7 已知關于x、y的方程組[x-2y=m，? ? ? ? ? ? ? ? ①2x+3y=2m+4? ? ?②]的解滿足不等式組[3x+y≤0，x+5y>0，]求滿足條件的m的整數值。

【分析】這是一個含參數的方程組問題，用代入消元法或加減消元法解出[x=m+87，y=47，]將x、y代入不等式組中，得到關于m的不等式組，從而求出不等式組的解集，并得出m的整數值。然而通過再次觀察，我們不難發現方程①②可通過整體加減直接得到不等式組，從而快速地解決此題。

解：由①+②，得3x+y=3m+4，

由②-①，得x+5y=m+4。

由題意可得[3m+4≤0，m+4>0，]

解得[m≤-43，m>-4，]

∴-4

∴m=-3，m=-2。

（作者單位：江蘇省儀征市棗林灣學校）