“數與式”，在靈動中見深度

施曉丹

“數與式”是初中數學的基礎知識，也是中考的基本考查內容之一，主要考查同學們對基本概念的理解、基礎知識的運用和基本技能的掌握情況。近年來，中考中也出現了一些新題型，面貌煥然一新。這些題更具靈活性和思辨性，有時需要同學們仔細閱讀，回歸概念;有時還需計算推理。

一、在嘗試中計算

例1 （2020·湖北荊州）若x為實數，在“（[3]+1）□x”的“□”中添上一種運算符號（在“+，-，×，÷”中選擇）后，其運算的結果為有理數，則x不可能是（ ）。

A.[3]+1 B.[3]-1

C.[23] D.1-[3]

【解析】選項A：（[3]+1）÷（[3]+1）=1，或（[3]+1）-（[3]+1）=0;

選項B：（[3]+1）（[3]-1）=3-1=2，或（[3]+1）-（[3]-1）=2;

選項D：（[3]+1）（1-[3]）=1-3=-2，或（[3]+1）+（1-[3]）=2;

而選項C，無論填“+，-，×，÷”中的任何一種符號，都不能保證其運算的結果為有理數。故選C。

【點評】本題考查了實數的運算和有理數的概念，只是這樣的呈現形式使題目更具靈活性。本題要我們先選擇運算符號，再進行計算，最后根據運算結果進行判斷。我們只要逐一對每個選項做出相應的計算嘗試，即可得到答案。當然，選擇運算符號的時候也應有目的地篩選。

二、在閱讀中理解

例2 （2020·重慶）在數的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數充滿好奇，如學習自然數時，我們發現一種特殊的自然數——“好數”。

定義：對于一個三位自然數n，各位數字都不為0，且百位數字與十位數字之和恰好能被個位數字整除，則稱這個自然數n為“好數”。

例如：426是“好數”，因為4、2、6都不為0，且4+2=6，6能被6整除;

643不是“好數”，因為6+4=10，10不能被3整除。

（1）判斷312、675是否是“好數”，并說明理由;

（2）求出百位數字比十位數字大5的所有“好數”的個數，并說明理由。

【解析】（1）312是“好數”，675不是“好數”。理由：

312是“好數”，因為3、1、2都不為0，且3+1=4，4能被2整除;

675不是“好數”，因為6+7=13，13不能被5整除。

（2）設十位數字為a（a為整數且1≤a≤4），則百位數字為a+5，

∴a+a+5=2a+5。

當a=1時，2a+5=7，7能被1、7整除，∴此時“好數”有2個：611，617;

當a=2時，2a+5=9，9能被1、3、9整除，∴此時“好數”有3個：721，723，729;

當a=3時，2a+5=11，11能被1、11整除，但個位數字不可能是11，∴此時“好數”有1個：831;

當a=4時，2a+5=13，13能被1、13整除，但個位數字不可能是13，∴此時“好數”有1個：941。

綜上所述，滿足條件的“好數”共有7個：611，617，721，723，729，831，

941。

【點評】本題是一道新定義問題，新定義的實質就是作出一種規定，根據規定來解決問題。本題主要考查我們閱讀題干后，獲得的解決問題的能力，正確理解“好數”是解決問題的關鍵，同時，也需要我們深入周密地去思考。第（1）問，根據“好數”的定義進行判斷即可。第（2）問，用字母表示數后問題就變得清晰多了，設十位數字為a，進而表示出百位數字，根據題意，可推斷出a為整數且1≤a≤4，這是做到不遺漏、不重復的前提。在此范圍內分別取定a的值，根據“好數”的定義，結合整除的知識，就能得出結果。

（作者單位：江蘇省常熟市教育局教學研究室）