類比法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳鎮(zhèn)偉

【文摘】類比是兩事物在一些方面相同或類似去推知在另外一些方面也相同或類似，但這種合情推理的結(jié)論可能正確，也可能錯(cuò)誤，它還要靠邏輯推理去證明正確與否.類比法的關(guān)鍵就在于善于從新問(wèn)題聯(lián)想到舊問(wèn)題，并把新舊問(wèn)題進(jìn)行類比.在具體應(yīng)用中，我們一般可以根據(jù)四個(gè)原則進(jìn)行類比解題，把新舊問(wèn)題相類比，把簡(jiǎn)單與復(fù)雜問(wèn)題相類比，把直觀與抽象問(wèn)題相類比，把學(xué)科間的問(wèn)題相類比.有意識(shí)地培養(yǎng)應(yīng)用類比法解題可提高思維能力和創(chuàng)造力，是獲得新思路新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑，并且能有效鞏固和保持已有的知識(shí).

【關(guān)鍵詞】類比;合情推理;數(shù)學(xué)問(wèn)題;新舊問(wèn)題;核心素養(yǎng)

在瀚如浩海的初等數(shù)學(xué)題中，有大量的題目可用一種特殊的數(shù)學(xué)解題方法——類比法解決.什么是類比法呢？著名教育家波利亞說(shuō)過(guò)，“在解答一個(gè)顯然難以求解的問(wèn)題時(shí)，提出一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助問(wèn)題，并加以解答，以找到解決原來(lái)問(wèn)題的途徑.這是一個(gè)最獨(dú)特的智力活動(dòng)……一個(gè)輔助問(wèn)題，只要和原來(lái)問(wèn)題相似，而且較為容易，它就可以給予方法論方面的意義”.實(shí)際上類比法的實(shí)質(zhì)就是如此.它是根據(jù)新舊問(wèn)題在某些方面相似或相同，推導(dǎo)出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤姆椒ǎ绻覀儚倪壿嬌蟻?lái)看待類比法，它的形式就是數(shù)學(xué)推理中的類比推理，用符號(hào)表示即為：

研究對(duì)象??? 屬性

∵ 甲????? A B C D

乙???? A B C

∴乙也有屬性D.

類比推理是一種或然推理，因而應(yīng)用類比法所推得的結(jié)論是不確定的，我們不能把類比法作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法.但是，當(dāng)我們面對(duì)一道數(shù)學(xué)題束手無(wú)策時(shí)，我們?nèi)艨紤]用類比法來(lái)打開(kāi)思路，則往往能激發(fā)我們的思維火花，使我們找到解題線索，為解決問(wèn)題描出一個(gè)大概的過(guò)程和輪廓.正如康德所說(shuō)的：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn).”應(yīng)用類比法解題，首先必須全面、細(xì)致地審清題意，在審清題意的基礎(chǔ)上，在腦海中閃現(xiàn)出與此類似的舊問(wèn)題及相關(guān)的理論，并深刻分析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，把未知問(wèn)題和已知問(wèn)題加以對(duì)照，從而根據(jù)已知結(jié)論對(duì)未知問(wèn)題的結(jié)論做出預(yù)測(cè)，解決新問(wèn)題.類比法的關(guān)鍵就在于善于從新問(wèn)題聯(lián)想到舊問(wèn)題，并把新舊問(wèn)題進(jìn)行類比.在具體應(yīng)用中，我們一般可以根據(jù)四個(gè)原則來(lái)進(jìn)行類比解題，把新舊問(wèn)題相類比，把簡(jiǎn)單與復(fù)雜問(wèn)題相類比，把直觀與抽象問(wèn)題相類比，把學(xué)科間的問(wèn)題相類比.

一、把新問(wèn)題和舊問(wèn)題相類比

已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法往往對(duì)我們所要解決的問(wèn)題有著重要的指導(dǎo)意義，適當(dāng)?shù)匕研聠?wèn)題和舊問(wèn)題相類比，能開(kāi)闊我們的思路，使我們尋得解題方法.

例1 解方程x3+（1+2）x2-2=0.

分析 這是以x為未知數(shù)的三次方程，學(xué)生對(duì)三次方程的解法較為陌生，但對(duì)一元二次方程的解法則是掌握的，因此，我們可考慮把三次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，觀察原方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若把x視為“已知數(shù)”，把“2”看作未知數(shù)，則原方程便可以看作關(guān)于“2”的一元二次方程.

解 設(shè)y=2，則原方程可化為y2-x2y-（x3+x2）=0，

解方程得：y=-x或y=x2+x，

∴x=-2或x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=-1+1+422，x3=-1-1+422是原方程的解.

例2 已知x，y，z均為實(shí)數(shù)，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求證：x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

分析 此題若用代數(shù)方法證明，則很冗繁，由于這道題的結(jié)論形式是三個(gè)代數(shù)式和等于它們?nèi)咧e，因此我們可以回憶一下所解過(guò)的類似問(wèn)題，如下題：

在△ABC中，求證：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

這道題的證法是：∵A+B+C=π，∴A+B=π-C，

等式兩邊取正切得：tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

去分母整理得：tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.

要將該題的證法進(jìn)一步移植到原題中，還必須使：

tan A=x-y1+xy，tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx.

經(jīng)過(guò)分析研究，證法如下：

令x=tan α，y=tan β，z=tan γ，A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，

則tan A=tan（α-β）=tan α-tan β1+tan α·tan β=x-y1+xy，

同理tan B=y-z1+yz，tan C=z-x1+zx，

∵A+B+C=（α-β）+（β-λ）+（λ-α）=0，∴A+B=-C，

取正切得tan A+tan B1-tan A·tan B=-tan C，

∴tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C，

即x-y1+xy+y-z1+yz+z-x1+zx=x-y1+xy·y-z1+yz·z-x1+zx.

二、把復(fù)雜問(wèn)題和簡(jiǎn)單問(wèn)題相類比

面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，可把它簡(jiǎn)單化并解決之，從而獲得解決原問(wèn)題的啟示和依據(jù).

例3 已知角α，β，γ，θ都是銳角，且α+β+γ+θ=π，

求y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的最大值.

分析 這里的y是多個(gè)角的三角函數(shù)的積，較復(fù)雜，求解難以入手，不妨先來(lái)探討一個(gè)相似的簡(jiǎn)單問(wèn)題：已知角α，β都是銳角，α+β=A（A為定值且0

y=sin α·sin β=sin α·sin（A-α）

=12cos （2α-A）-cos A，

依題設(shè)條件可知：當(dāng)且僅當(dāng)α=A2，即α=β=A2時(shí)，

y取得最大值sin A22.

這個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決給了我們什么啟示呢？它使我們自然會(huì)猜想原問(wèn)題正確的結(jié)論也許是：當(dāng)且僅當(dāng)α=β=γ=θ=π4時(shí)，y取得最大值sin π44，這個(gè)結(jié)論果真正確嗎？需要證明，直接證明此結(jié)論似難入手，正難則反，試證若α，β，γ，θ不都相等，則y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值就無(wú)法取到最大.有了前面對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的探究，此命題是很容易解決的，事實(shí)上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨設(shè)α≠β，我們暫且固定γ，θ的值不變，而讓?duì)粒轮底兓?

則有α+β=π-（γ+θ）為定值，且0<π-（γ+θ）<π.

∵α≠β，∴sin α·sin β的值不是最大，從而y=sin α·sin β·sin γ·sin θ的值也不是最大，所以我們對(duì)原問(wèn)題的猜想是正確的，問(wèn)題得以順利解決.

例4 解方程組x+y+z=3，（1）

x2+y2+z2=3，（2）

x3+y3+z3=3.（3）

分析 粗看之下，很難入手，若用代入消元法，則計(jì)算十分繁雜，因此先考慮方程組x+y=3，（4）x2+y2=5，（5）雖然這兩個(gè)方程組的元數(shù)，次數(shù)均不相同，但仍有不少與原題相似的地方，如每一方程未知數(shù)的次數(shù)都是一樣的，都是關(guān)于未知數(shù)的輪換式，都沒(méi)有不同未知數(shù)乘積的項(xiàng)等.根據(jù)x+y=3，再由（4）2-（5）2，求出xy=2，根據(jù)韋達(dá)定理得方程x2-3x+2=0，∴x=1或2，∴方程組的解為x1=1，y1=2，或x2=2，y2=1.

類比于上述解法，在原方程組中已知x+y+z=3，同樣設(shè)法求xy+yz+zx和xyz的值，最后用韋達(dá)定理求解.

具體解法是：由（1）2-（2）2得

xy+yz+zx=32-32=3，

由（1）3-（3）得（x+y+z）3-（x3+y3+z3）=24，

∴（x+y）（y+z）（z+x）=8，

即（3-z）（3-x）（3-y）=8，

∴xyz=1.

根據(jù)韋達(dá)定理得u3-3u2+3u-1=0，∴（u-1）3=0.

從而可知x=1，y=1，z=1是原方程組的解.

三、把抽象的問(wèn)題和直觀的問(wèn)題相類比

直觀圖形有助于挖掘問(wèn)題的本質(zhì)東西，幫助我們理清條序，迅速解題.

例5 已知a>0，b>0且a+b=1，求證a-1a2+b-1b2≥92.

分析 我們注意到左邊兩個(gè)平方項(xiàng)有相同的結(jié)構(gòu)，可以類比聯(lián)想到具有這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)f（x）=x-1x2，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)容易斷定此函數(shù)圖像是凹的.如圖1所示，

∴f（a）+f（b）2≥fa+b2，

∴a-1a2+b-1b2≥92.

四、把這一學(xué)科的問(wèn)題和鄰近學(xué)科的問(wèn)題相類比

數(shù)學(xué)各門分科并不截然孤立，而是有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系的.正是由于這種學(xué)科間的相互聯(lián)系，相互滲透使我們得以根據(jù)類比思想方法創(chuàng)造性解決問(wèn)題，使思維得到更高層次發(fā)展.

例6 從四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D分別向所對(duì)的平面引垂線，其長(zhǎng)分別為ha，hb，hc，hd，P為四面體內(nèi)任一點(diǎn)，從P向A，B，C，D四點(diǎn)所對(duì)的平面作垂線，垂線長(zhǎng)分別為pa，pb，pc，pd，求證：paha+pbhb+pchc+pdhd=1.

分析 立體幾何問(wèn)題一般可以和平面幾何問(wèn)題相類比，故可考慮如下的一平面幾何題以獲得啟發(fā).設(shè) △ABC的三邊AB，AC，BC的高分別為hc，hb，ha，并且三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到這三邊的距離分別為pc，pb，pa.求證：paha+pbhb+pchc=1.

證法為：如圖2，連接PB，PC，

paha=12BC·pa12BC·ha=S△PBCS△ABC.

同理pbhb=12AC·pb12AC·hb=S△PACS△ABC，

pchc=12AB·pc12AB·hc=S△PABS△ABC，

∴paha+pbhb+pchc=S△PBC+S△PAC+S△PABS△ABC=1.

原題與上題類比可得證法如下：

paha=13S△BCD·pa13S△BCD·ha=VP-BCDVA-BCD，

同理pbhb=VP-ACDVA-BCD，pchc=VP-ABDVA-BCD，pdhd=VP-ABCVA-BCD，

∴paha+pbhb+pchc+pdhd=VP-ACD+VP-ABC+VP-BCD+VP-ABDVA-BCD=1.

可以說(shuō)，在數(shù)學(xué)中類比法可解決許多難題，它的應(yīng)用范圍較為廣泛，使用類比法解題要求我們首先要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，其次要善于聯(lián)想，善于分析，合情推理，挖掘事物間本質(zhì)、必然的聯(lián)系，以經(jīng)過(guò)論證的事實(shí)為依據(jù)，去推測(cè)出問(wèn)題的結(jié)論.正是由于類比法的這種特征，所以教師有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用類比法解題可提高學(xué)生思維能力和創(chuàng)造力，并且使其鞏固和保持已有的知識(shí)，這是獲得新思路新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳卓.類比推理在高中生物新課程教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2011.

[2]陳慧敏.把握問(wèn)題結(jié)構(gòu)叩開(kāi)解決問(wèn)題大門——“用連除解決問(wèn)題”教學(xué)思考[J].教育界：基礎(chǔ)教育研究（中），2016（06）：57-59.