八元數矩陣的行列式及其性質

【摘要】在賦范的空間中，只有四種可以除的代數，分別是八元數、復數、實數和四元數，八元數關于乘法的計算中，并非結合也非交換，所以很難定義八元數矩陣，使八元數具有良好的運算性質同樣也是很困難，在以往對八元數的矩陣的研究中，李麗和李興民根據數學與物理上的需求，曾提出八元數自共軛矩陣的行列式應該是一個實數，通過對幾個八元數乘積的結合方式和次序問題，第一次給出了八元數行列式的定義，但是與四元數、復數和實數的運算形式相比較，所提出的八元數行列式的定義中，所包含的運算性質較少，本次研究給出了八元數行列式一種新的定義形式，盡可能地使其所包含的運算性質增多，使八元數矩陣行列式得到證明.在小學數學的教學過程中，教師要合理地利用八元數中的方法和結構設計自己的教學內容.

【關鍵詞】八元數;八元數矩陣;行列式;運算;性質

【基金項目】貴州省科技計劃項目“基于八元數上矩陣行列式的性質研究”（合同編號：黔科合LH字【2017】7076號）

在八元數、四元數、復數和實數這四種可除性代數中，如果Rn規定乘法運算，使任意的X∈Rn;Y∈Rn，并且‖XY‖∈Rn=‖X‖‖Y‖，n∈{1，2，4，8}，在n的這四個實數中，雖然滿足結合律但是不能滿足乘法交換律，八元數既不滿足結合律也不滿足乘法交換律.由于實數和復數的行列式理論和矩陣式理論在數學領域中應用很廣，因此隨著四元數的誕生，四元數行列式理論和矩陣式理論就一直有人在研究{16，17，18}，但是在四元數的乘法運算中的不交換性，行列式的定義和理論就一直沒有統一的標準.本次研究的主要目的就是要嘗試建立起八元數矩陣的行列式概念和基本理論.小學的數學教師要多為學生創造適合學生全面發展的學習環境，參照八元數的思想內容，為學生設計多元化的學習任務.

在建立這一基本概念的過程中，首先需要考慮的是八元數矩陣的運算性質，定義了八元數矩陣式的第一，二，三種初等的變換：設A∈On×n，λ∈O，On×n中的以上的三種初等變換形式分別如下所示;

一 把A的第J行的左倍加到第i行，然后讓第J列中的右 λ 倍加到第Ⅰ列中，其中{i≠J}，這樣交換運算方法又稱為是消法變換.

二 用λ-（λ-≠0）左乘A的第i行，然后用 λ 右乘A第J列，這種變換方法又稱為倍法變換.

三 互換A的第j、i兩行，再互換第J、I 兩列，這種變換方法又稱換法變換.先記P（i，J i）為單位陣i的第J列右 λ 倍加到第i列所得的矩陣，把所得到的這種矩陣稱為消法矩陣.

P{ i （λ）}為單位陣 λ 的第I列右 λ （λ≠0）倍后所得的矩陣，稱為倍法矩陣.

P（i，J）為變換單位陣I的i，J兩列后所得的矩陣，稱為換法矩陣或置換矩陣.

P（i，J），P{i （λ）}，P{i，J}統稱為初等矩陣.所有初等矩陣均是可逆的.且

P（i，J λ）-1 = P（i，J-λ），P{i（λ）}-1 =P{i（1/λ）}，P（i，J）-1 =P（j，i），

并證明了：對A∈On×n實行第一，二，三種初等變換分別相當于

（ⅰ）P（i，j λ）* AP（i，j λ），

（ⅱ）P{i（ λ）}*AP {i（λ）}，

（ⅲ）P（i，j）*AP（i，J）.

命題蘊涵了這些類型的矩陣的乘法滿足結合性.我們特別對八元數自共軛矩陣進行了重點討論，證明了：若A∈SCn （O），

則對任意的X=（X1，X2 ，X3…Xn）T∈On×1，其中（x*，A，x）肯定是屬于實數，這在一定程度上推廣了實數、復數、四元數的矩陣理論.由于八元數關于乘法非交換和非結合，如何給出八元數行列式的定義并使其具備良好的性質，是非常困難的.

一般在定義域F上，n階矩陣行列式是定義域F上的一個數，這個數是N個項的和，其中每項是不同行、不同列上的n個元素的乘積，并且加上適當的符號加以表示.由于八元數不滿足乘法的交換律和結合律，那么每項中的這n個元素應該怎樣相乘計算，又按照什么順序進行排列相乘，每一項怎么進行結合、計算出來的數據的每一項的符號如何確定，這一系列的問題借助謝邦杰教授和陳龍玄教授等提出的四元數矩陣的行列式工作的研究，對在相乘運算職工八元數的不結合不交換做出規定，規定這n個八元數相乘過程中的結合方式.在這樣的規定下，結合方式就會有很多選擇.同樣地，不同的概念和定義自然會產生不同的行列式理論.

定義（2.3.1），設a∈O，在八元數a的前提下，如果存在b∈O，那么可以使ab=ba=1，這樣就可以把八元數b稱為八元數a的倒數或八元數a的逆元，把這種方式記作為b=n～，即aa-1 = a-1a=1.

八元數中，a存在倒數的充要條件是a≠0，并且n的倒數a-1是唯一的，由此證明：當a-1存在倒數時，那么一定有a≠0這一條件的成立，同樣地，用反證法證明的過程，先假設在n=0的情況下，n對任意b都成立，且（b∈O），從而得出ab=ba=0存在的可能性，由以上證明可見a-1是不存在的這一條件與已知條件相互矛盾，所以必要性的條件存在，這一問題得到證明.

在充分性條件下，設n≠0，就會有ab=ba=1的存在，根據一開始的定義，那么就可以得出a存在倒數，然后證明a的倒數存在的唯—性，設a和另一個倒數h′，則有ah=ha=1.

由以上兩步證明可以得出：ah′-ah=a（h′-h）=0，

因為a存在倒數，所以a≠0.從而可以得出h′-h=0，即有h=h′.

由此可以得出a的倒數存在唯一性.

小學的數學知識和現實生活的各個方面都有聯系，所以小學的數學教學要用巧妙的方法引導學生參加社會實踐活動，讓學生在實際生活中練習所學到的數學知識，鍛煉學生的實際應用能力，使學生得到全面發展.

經過反復試驗、探討，我們找到了較理想的八元數行列式的定義，在此定義之下，我們得到了八元數行列式的一些基本性質，證明了八元數自共軛矩陣的行列式必為實數.在整個數學的發展史上，解方程組理論和矩陣理論、行列式理論有很大的聯系.但是大家都很熟悉的理論一般都是在實數的基礎上建立的，矩陣元素理論基礎是復數，所以當矩陣的元素是四元數時，一般統一的行列式理論就不再適用.從整個數學的研究過程來看，很多人都在研究的過程中曾嘗試給八元數行列式規定不同的定義，并且研究與八元數相關的性質，但是一直沒有人把線性方程組Ax=b和八元數行列式的理論有效地結合在一起.主要的原因是因為八元數乘法方式并不是像實數的乘法運算中的結合算法，所以，用一般的數學方法和結論不能解決八元數線性方程組，例如方程Ax+by=c（其中系數都為八元數），求該方程的解時，方程兩邊如果同乘常數m，就只能得到m（Ax）+m（by）=mc，并不能得到（mA）x+（mb）y=mc.從這個例子可以看出，八元數的行列式理論與八元數線性方程組不能以實數為基礎進行計算，它是一個獨立的理論系統.但是換一個思維模式想，如果在計算八元數矩陣時不使用行列式理論，那么八元數行列式中的求逆問題就可以得到解決了，有關八元數線性方程組的一系列問題也可以得到解決.這一問題我國數學家早已對此類問題有過研究.

本次研究利用八元數的矩陣給出簡單的論證方式.通過論證結果可以得出，通過用八元數的矩陣表示，把解決八元數中線性方程組的問題，通過轉化，變成8n得實線性方程組，進而對其進行求解，就等于把n階的八元數矩陣求逆問題轉化為8n階實矩陣求逆的問題.因為八元數的運算存在特殊情況，所以在對四元數線性方程組進行求解的問題上，可以轉化為實矩陣求逆問題，同樣的四元數矩陣的求逆問題也可以通過這種轉化方式得以解決.

因為八元數在乘法運算中，具有不結合性和不可交換性，所以在對八元數的研究領域中，八元數的研究工作在一定程度上受到了很大的影響.但是到了20世紀90年代之后，計算技術控、控制理論技術的成熟和物理技術的進步，對八元數的研究進度也得到了一定程度的提升，在如今的數學學術界開始被重視起來.在最近幾年的研究中，很多的數學專家和知名學者對八元數矩陣的行列式性質進行了一系列探討和研究，并且取得了很大的研究成果.就像我國著名的數學家何杰華，他用兩種方法對八元數上的行列式下了定義，得到了關于八元數的性質，并且找出了一些有關八元數三階行列式的計算機計算方法，在解決八元數二階線性方程組的問題上也同樣適用.

結 語

在對八元數矩陣行列式的研究中，以上的討論和說明都相對膚淺.在自己所給出的八元數行列式的定義之下，很多熟悉運用的基本計算方法和公式在八元數的概念下都不再適用，并且原先所具備的行列式的性質也不能利用，所以如何更好地給出八元數行列式定義，使該定義具有很高的嚴謹性和系統性，并且具有比較完備的適用性質，是以后數學領域研究的重點，還需要不斷努力.但是在小學數學教學中，要尋找更多的教學方法，為學生創造多元化、智能化的學習環境，讓學生能通過多個渠道學習數學，開發學生的智力.

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